Вариант 2. 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

Вариант 2 1. **Ответ: 104°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. 1) Найдём сумму углов при основании: $38^{\circ} + 38^{\circ} = 76^{\circ}$. 2) Найдём угол при вершине: $180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. 2. **Ответ: 73°** На рис. 53 прямые $MK$ и $DN$ параллельны (так как внутренние односторонние углы в сумме дают $180^{\circ}$: $107^{\circ} + 73^{\circ} = 180^{\circ}$). Углы $MKF$ (равный $73^{\circ}$) и $CFN$ являются соответственными при параллельных прямых $MK \parallel DN$ и секущей $KF$, значит $\angle CFN = 73^{\circ}$. 3. **Ответ: 84°** Рассмотрим $\triangle ABC$ на рис. 54. 1) Сумма углов треугольника $180^{\circ}$, значит $\angle B = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 24^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. Это весь угол $B$. 2) В $\triangle EBF$ угол $\angle BEF = 180^{\circ} - (\angle EBF + \angle EFB) = 180^{\circ} - (36^{\circ} + 60^{\circ}) = 84^{\circ}$ (если рассматривать внешний угол или смежные). *Уточнение:* Угол $F$ (внешний для треугольника $ABC$) равен сумме двух внутренних не смежных с ним: $\angle F = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180 - (60 + 36) = 84^{\circ}$. 4. **Доказательство:** 1) Так как $AB \parallel CD$, то $\angle BAC = \angle ACD$ как накрест лежащие при секущей $AC$. 2) Так как $BC \parallel AD$, то $\angle BCA = \angle CAD$ как накрест лежащие при секущей $AC$. 3) $\angle A = \angle BAC + \angle CAD$, а $\angle C = \angle ACD + \angle BCA$. Следовательно, $\angle A = \angle C$, что и требовалось доказать. 5. **Ответ: 10 см** В прямоугольном $\triangle MNF$ ($\angle N = 90^{\circ}$): 1) Так как $\angle M = 30^{\circ}$, то по свойству прямоугольного треугольника катет $NF$ лежит против угла в $30^{\circ}$ и равен половине гипотенузы $MF$. Но нам дана биссектриса. 2) В $\triangle MDF$ отрезок $FD$ — биссектриса. В прямоугольном треугольнике с углом $30^{\circ}$ второй острый угол $\angle F = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 3) Так как $FD$ — биссектриса, то $\angle MFD = \angle NFD = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 4) В $\triangle MDF$ углы при основании $M$ и $F$ равны ($30^{\circ}$), значит треугольник равнобедренный, $MD = FD = 20$ см. 5) В $\triangle NFD$ катет $ND$ лежит против угла $\angle NFD = 30^{\circ}$, значит $ND = \frac{1}{2} FD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см. 6) $MN = MD + DN$ (неприменимо напрямую без чертежа), если ищется катет $MN$ через тригонометрию: $MN = FD \cdot \cos(30^{\circ}) + ...$ Допущение: Требуется найти катет $MN$. Из $\triangle MNF$: $MN = MF \cdot \cos(30^{\circ})$. В $\triangle DNF$: $NF = FD \cdot \cos(30^{\circ}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$. В $\triangle MNF$: $MN = NF \cdot \text{ctg}(30^{\circ}) = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 30$ см. Или если $MN$ — это катет, прилежащий к $30^{\circ}$, а $FD$ — биссектриса из прямого угла, ответ зависит от расположения. По стандартной задаче: **MN = 30 см**.