Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

**Ответ: 1. 104°; 2. 44°; 3. 24°** 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, два угла по $38^{\circ}$. Сумма углов треугольника $180^{\circ}$. $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. 2. Рассмотрим прямые $MN$ и $AC$. Углы $\angle MKA = 73^{\circ}$ и $\angle KAD = 107^{\circ}$ являются односторонними. Проверим их сумму: $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$. Раз сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$, то прямые $MN$ и $AC$ параллельны ($MN \parallel AC$). Углы $\angle CFN$ и $\angle FCA$ (дан как $44^{\circ}$) являются накрест лежащими при параллельных прямых $MN$, $AC$ и секущей $FC$. Накрест лежащие углы равны. $\angle CFN = \angle FCA = 44^{\circ}$. 3. Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$. Найдем угол $\angle ACB$: $\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. Углы $\angle ACB$ и $\angle ECF$ — смежные, их сумма $180^{\circ}$: $\angle ECF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. Теперь рассмотрим треугольник $ECF$. Сумма углов в нем также $180^{\circ}$: $\angle F = 180^{\circ} - (\angle ECF + \angle CEF) = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. **Допущение:** В задаче 3 угол $24^{\circ}$ на рисунке относится к вертикальному углу для внутреннего угла $E$ треугольника $ECF$, значит $\angle CEF = 24^{\circ}$. Однако, если $\angle CED = 24^{\circ}$ — это внешний угол, то $\angle F$ может считаться иначе. Исходя из рисунка, наиболее вероятно, что $\angle CEF = 24^{\circ}$, тогда $\angle F = 60^{\circ}$. **Поправка к задаче 3:** Если рассмотреть треугольник $ABF$, где $\angle A = 60^{\circ}$, а внешний угол при вершине $E$ (угол $DEF$) равен $24^{\circ}$, данных на чертеже недостаточно для однозначного вывода без понимания, к какому именно углу относится дуга $24^{\circ}$. Если $\angle CED = 24^{\circ}$, то $\angle CEF = 180 - 24 = 156^{\circ}$, что невозможно для треугольника с углом $96^{\circ}$. Скорее всего, на рис. 54 опечатка в дугах или обозначениях. Если предположить, что $\angle BCF = 24^{\circ}$, решение было бы иным. При стандартном прочтении $\angle F = 60^{\circ}$ (если $\angle E = 24^{\circ}$ и $\angle C = 96^{\circ}$).