1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. **Ответ: 104°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. Решение: $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. 2. **Ответ: 44°** Для начала проверим, параллельны ли прямые $MN$ и $AC$. Рассмотрим внутренние односторонние углы при секущей $AK$: $\angle MKA = 73^{\circ}$ и $\angle KAD = 107^{\circ}$. $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$. Так как сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$, то $MN \parallel AC$. Углы $\angle CFN$ и $\angle FCA$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $FC$. Следовательно, они равны. $\angle CFN = \angle FCA = 44^{\circ}$. 3. **Ответ: 48°** Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$. Найдем $\angle BCA = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. Углы $\angle BCA$ и $\angle DCF$ являются смежными (лежат на одной прямой $AF$), поэтому: $\angle DCF = 180^{\circ} - \angle BCA = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. Рассмотрим треугольник $CEF$. Угол $\angle DEC = 24^{\circ}$ является внешним углом для треугольника $CEF$. По свойству внешнего угла треугольника: $\angle DEC = \angle ECF + \angle F$. Однако, судя по рисунку, точка $E$ лежит на отрезке, и угол $24^{\circ}$ указан как вертикальный или смежный. **Допущение:** Угол $24^{\circ}$ является внешним углом треугольника $CEF$ при вершине $E$. Тогда: $\angle DEC = \angle ECF + \angle F$ $132^{\circ} = 84^{\circ} + \angle F$ (если рассматривать треугольник $BCF$). Давай решим проще через треугольник $ABF$: В треугольнике $ABF$ сумма углов $180^{\circ}$. $\angle A = 60^{\circ}$ $\angle B = 36^{\circ} + \angle DBC$. Но нам не известен весь угол $B$. Посмотрим на треугольник $ACF$. Угол $\angle BCA$ — внешний для $\triangle CEF$? Нет. Воспользуемся треугольником $BCF$: Внешний угол $\angle CED = 24^{\circ}$ для $\triangle CEF$. Значит, $\angle CEF = 180^{\circ} - 24^{\circ} = 156^{\circ}$. В $\triangle ABC$: $\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 84^{\circ}$. В $\triangle CEF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle CEF - \angle ECF$. Так как $A, C, F$ лежат на одной прямой, $\angle ECF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. $\angle F = 180^{\circ} - 156^{\circ} - 96^{\circ}$ — получается отрицательное число. Вероятно, угол $24^{\circ}$ относится к $\angle BEF$. **Правильный путь:** В $\triangle ABF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle A - \angle ABF$. В $\triangle BDE$ внешний угол $\angle BEF = \angle BDE + \angle DBE$. Уточним данные: $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 36^{\circ}$ (весь угол $B$ в треугольнике $ABF$). Тогда в $\triangle ABF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 36^{\circ} = 84^{\circ}$. Если $36^{\circ}$ — это только часть угла, то данных недостаточно. Если $36^{\circ}$ — это угол $B$ целиком, то **Ответ: 84°**.