1. Вычислите 8^(0.5log8 64).

Привет! Давай разберем твой вариант с логарифмами. Вот пошаговое решение: **1. Вычислите $8^{0.5 \log_8 64}$** Используем свойство логарифма: $n \log_a b = \log_a b^n$. Тогда $0.5 \log_8 64 = \log_8 64^{0.5} = \log_8 \sqrt{64} = \log_8 8 = 1$. Получаем $8^1 = 8$. **Ответ: 8.** **2. Найдите область определения функции $y = \lg \frac{7-x}{3x+1}$** Логарифм определен, если аргумент больше 0: $\frac{7-x}{3x+1} > 0$ Решим методом интервалов. Корни числителя $x=7$, знаменателя $x=-\frac{1}{3}$. Знаки: $(-\infty; -1/3)$ — минус, $(-1/3; 7)$ — плюс, $(7; +\infty)$ — минус. Нам нужны плюсы. **Ответ: $x \in (-1/3; 7)$.** **3. Решите уравнения:** а) $\log_{1/4}(x-2) = -2$ По определению логарифма: $x-2 = (1/4)^{-2} = 4^2 = 16$. $x = 16 + 2 = 18$. **Ответ: 18.** б) $\log_5(2x-3) = \log_5 25 - 2$ Так как $\log_5 25 = 2$, уравнение принимает вид: $\log_5(2x-3) = 2 - 2 = 0$. $2x - 3 = 5^0 = 1$ $2x = 4 \implies x = 2$. Проверка: $2(2)-3 = 1 > 0$. Подходит. **Ответ: 2.** **4. Решите неравенства:** а) $\log_9(3-x) \leq 0$ $3-x \leq 9^0$ $3-x \leq 1 \implies -x \leq -2 \implies x \geq 2$. Учитывая ОДЗ ($3-x > 0 \implies x < 3$): **Ответ: $x \in [2; 3)$.** б) $\log_{1/7}(3x-1) < -1$ Так как основание $1/7 < 1$, знак меняется: $3x-1 > (1/7)^{-1}$ $3x-1 > 7$ $3x > 8 \implies x > \frac{8}{3}$. **Ответ: $x \in (8/3; +\infty)$.**