№ 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

Вот решения для твоих задач по геометрии: **№ 1. Ответ: 104°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, два угла равны по $38^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике всегда $180^{\circ}$. $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. **№ 2. Ответ: 136°** (по рис. 53) 1. Рассмотрим прямые $MN$ и $AC$. Заметим, что сумма внутренних односторонних углов при секущей $KD$ равна $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$. Это значит, что прямые $MN$ и $AC$ параллельны ($MN \parallel AC$). 2. Углы $\angle CFN$ и $\angle FCA$ (который равен $44^{\circ}$) являются внутренними односторонними при параллельных прямых $MN$, $AC$ и секущей $FC$. Их сумма равна $180^{\circ}$. 3. $\angle CFN = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ}$. **№ 3. Ответ: 20°** (по рис. 54) 1. В треугольнике $ABC$: $\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. 2. Угол $\angle BCF$ — развёрнутый, значит $\angle ACF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. 3. В треугольнике $ECF$: $\angle F = 180^{\circ} - (\angle ECF + \angle CEF) = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$? *Исправление:* Посмотрим на треугольник $ABF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - (36^{\circ} + \angle DBC)$. На рисунке видно, что $\angle BCD$ не задан прямо, но есть треугольник $ABC$. В $\triangle ABC$: $\angle ACB = 180 - (60+36) = 84^{\circ}$. Тогда смежный $\angle BCF = 180 - 84 = 96^{\circ}$. В $\triangle ECF$: $\angle F = 180 - 96 - 24 = 60^{\circ}$. **Допущение:** Если $\angle ECF$ на чертеже прямой или имеет другие данные, ответ может измениться, но исходя из суммы углов $\triangle ABC$, $\angle F = 60^{\circ}$. **№ 4. Доказательство** (по рис. 55) Так как $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$, то четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм по определению. В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, $\angle A = \angle C$. Также это можно доказать через равенство треугольников $ABD$ и $CDB$ по двум углам и общей стороне $BD$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых). **№ 5. Ответ: 30 см** **Допущение:** В условии опечатка в буквах. Вероятно, речь о биссектрисе $MD$ угла $M$ или биссектрисе из другого угла, так как вершины $A$ нет в названии треугольника $MNF$. Предположим, биссектриса выходит из угла $M=60^{\circ}$ к стороне $NF$. 1. В $\triangle MNF$: $\angle N=90^{\circ}$, $\angle M=60^{\circ}$, значит $\angle F = 180-90-60 = 30^{\circ}$. 2. Пусть биссектриса $MD$ делит $\angle M$ на два угла по $30^{\circ}$. 3. В $\triangle MDF$ два угла равны $30^{\circ}$ ($\angle DNF$ и $\angle F$), значит он равнобедренный: $MD = FD = 20$ см. 4. В прямоугольном $\triangle MND$ гипотенуза $MD = 20$ см, $\angle NMD = 30^{\circ}$. Катет $ND$ лежит против угла $30^{\circ}$: $ND = 20 / 2 = 10$ см. 5. По теореме Пифагора или через косинус: $MN = MD \cdot \cos(30^{\circ}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17,3$ см. *Если требуется найти гипотенузу или весь катет $NF$, расчеты изменятся. Если биссектриса из $F$, то $MN = 30$ см (так как $\triangle MNF$ — половина равностороннего).*