514 Найти числовое значение выражения: 1) 2 cos²(π/8) - 1; 2) 1 - 2 sin²(π/12); 3) √3/2 + 2 sin² 15°; 4) -√3/2 + 2 cos² 15°

**Ответ:** 1) **$\frac{\sqrt{2}}{2}$** 2) **$\frac{\sqrt{3}}{2}$** 3) **$1$** 4) **$1$** **Решение:** Для решения всех четырех пунктов воспользуемся формулами двойного угла для косинуса: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$ и $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. 1) $2 \cos^2 \frac{\pi}{8} - 1 = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 2) $1 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{12} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 3) $\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \sin^2 15^{\circ}$ Сначала заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30^{\circ}$. Тогда: $\cos 30^{\circ} + 2 \sin^2 15^{\circ}$ Используем формулу $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha \Rightarrow 2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha)$: $\cos 30^{\circ} + (1 - \cos 30^{\circ}) = 1$ 4) $-\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cos^2 15^{\circ}$ Заметим, что $-\frac{\sqrt{3}}{2} = -\cos 30^{\circ}$. Тогда: $-\cos 30^{\circ} + 2 \cos^2 15^{\circ}$ Используем формулу $2\cos^2\alpha - 1 = \cos(2\alpha) \Rightarrow 2\cos^2\alpha = \cos(2\alpha) + 1$: $-\cos 30^{\circ} + (\cos 30^{\circ} + 1) = 1$