26.2. Найдите значение выражения:

26.2. Найдите значение выражения: 1) **Ответ: 1** Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, откуда $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. $\frac{\cos^2 \frac{\pi}{8}}{1 - \sin^2 \frac{\pi}{8}} = \frac{\cos^2 \frac{\pi}{8}}{\cos^2 \frac{\pi}{8}} = 1$ 2) **Ответ: \sqrt{3} + 1** Используем формулу тангенса двойного угла $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$. $\frac{2\operatorname{tg} \frac{\pi}{12}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{12}} + 1 = \operatorname{tg}\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) + 1 = \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} + 1 = \frac{\sqrt{3}}{3} + 1$ *(Примечание: Если в условии подразумевался $\operatorname{tg} \frac{\pi}{6}$, то значение $\frac{1}{\sqrt{3}} + 1$. Обычно в школах $\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$)*. Исправим вычисление: $\operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. 3) **Ответ: 2 + \sqrt{3}** Аналогично пункту 2, используем формулу двойного угла для тангенса: $2 - \frac{2\operatorname{tg} 75^{\circ}}{1 - \operatorname{tg}^2 75^{\circ}} = 2 - \operatorname{tg}(2 \cdot 75^{\circ}) = 2 - \operatorname{tg} 150^{\circ} = 2 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ 4) **Ответ: 0,5** Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. $2\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} = \sin(2 \cdot 15^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} = 0,5$ 5) **Ответ: 0,5** Сначала применим формулу двойного угла для первых двух множителей: $4 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} \cos 30^{\circ} = 2 \cdot (2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}) \cdot \cos 30^{\circ} = 2 \sin 30^{\circ} \cos 30^{\circ}$ Снова применим ту же формулу: $2 \sin 30^{\circ} \cos 30^{\circ} = \sin(2 \cdot 30^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ *Допущение: В условии 5) в конце стоит $\cos 30^{\circ}$. Решение: $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.* 6) **Ответ: \frac{1}{16}** **Допущение:** В выражении пропущено число или есть опечатка в степенях. Вероятно, условие: $\cos^2 15^{\circ} \sin^2 15^{\circ}$ (так как $\cos 75^{\circ} = \sin 15^{\circ}$ по формулам приведения). $(\cos 15^{\circ} \sin 15^{\circ})^2 = \left(\frac{1}{2} \cdot 2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}\right)^2 = \left(\frac{1}{2} \sin 30^{\circ}\right)^2 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$