Найди числовое значение выражения: 1) 2 cos² π/8 - 1

1. Используем формулу косинуса двойного угла: $$\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$$ В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Тогда: $$\text{2cos}^2 \frac{\pi}{8} - 1 = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ Значение $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. **Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$** 2. Используем формулу косинуса двойного угла: $$\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$$ В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$. Тогда: $$\text{1 - 2sin}^2 \frac{\pi}{12} = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$$ Значение $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. **Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$** 3. Это выражение похоже на формулу косинуса двойного угла, но с изменением знака и присутствием $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Перепишем выражение: $$\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\sin^2 15^{\circ}$$ Мы знаем, что $$\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$$ Из этого следует, что $$\text{2sin}^2(\alpha) = 1 - \cos(2\alpha)$$ Подставим это в наше выражение: $$\frac{\sqrt{3}}{2} + (1 - \cos(2 \cdot 15^{\circ})) = \frac{\sqrt{3}}{2} + (1 - \cos(30^{\circ}))$$ Мы знаем, что $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда: $$\frac{\sqrt{3}}{2} + \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$$ **Ответ: 1** 4. Перепишем выражение: $$-\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\cos^2 15^{\circ}$$ Используем формулу косинуса двойного угла: $$\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$$ Из этого следует, что $$\text{2cos}^2(\alpha) = 1 + \cos(2\alpha)$$ Подставим это в наше выражение: $$-\frac{\sqrt{3}}{2} + (1 + \cos(2 \cdot 15^{\circ})) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + (1 + \cos(30^{\circ}))$$ Мы знаем, что $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда: $$-\frac{\sqrt{3}}{2} + \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$$ **Ответ: 1**