1064. Найти числовое значение выражения: 1) 2cos²(π/8) - 1; 2) 1 - 2sin²(π/12); 3) √3/2 + 2sin²15°; 4) -√3/2 + 2cos²15°.

Question

Вопрос:

1064. Найти числовое значение выражения: 1) 2cos²(π/8) - 1; 2) 1 - 2sin²(π/12); 3) √3/2 + 2sin²15°; 4) -√3/2 + 2cos²15°.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения воспользуемся формулами косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ и $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$. 1) $2\cos^2 \frac{\pi}{8} - 1 = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 2) $1 - 2\sin^2 \frac{\pi}{12} = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 3) Для вычисления $\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\sin^2 15^\circ$ выразим $2\sin^2 15^\circ$ через формулу понижения степени ($2\sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha$): $\frac{\sqrt{3}}{2} + (1 - \cos(2 \cdot 15^\circ)) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$ 4) Аналогично для $-\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\cos^2 15^\circ$ используем $2\cos^2 \alpha = 1 + \cos 2\alpha$: $-\frac{\sqrt{3}}{2} + (1 + \cos(2 \cdot 15^\circ)) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$ **Ответ:** 1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$; 2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$; 3) 1; 4) 1.

1064. Найти числовое значение выражения: 1) 2cos²(π/8) - 1; 2) 1 - 2sin²(π/12); 3) √3/2 + 2sin²15°; 4) -√3/2 + 2cos²15°.

Ответ ассистента

Другие решения