Найти значение выражения: a) $2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}$

а) Для вычисления значения выражения $2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12}$ используем формулу синуса двойного угла: $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$. В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$. $$2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$$ Известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. **Ответ: $\frac{1}{2}$** б) Для вычисления значения выражения $\cos^2 15^{\circ} - \sin^2 15^{\circ}$ используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. В данном случае $\alpha = 15^{\circ}$. $$\cos^2 15^{\circ} - \sin^2 15^{\circ} = \cos(2 \cdot 15^{\circ}) = \cos(30^{\circ})$$ Известно, что $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. **Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$** в) Для вычисления значения выражения $8\sin^2\frac{\pi}{8}\cos^2\frac{\pi}{8}$ можно переписать его как $2 \cdot 4\sin^2\frac{\pi}{8}\cos^2\frac{\pi}{8} = 2 \cdot \left(2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8}\right)^2$. Используем формулу синуса двойного угла: $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$. В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$. $$2\left(\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)\right)^2 = 2\left(\sin\left(\frac{2\pi}{8}\right)\right)^2 = 2\left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)^2$$ Известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $$2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$ **Ответ: 1** г) Для вычисления значения выражения $2\left(\sin^2\frac{\pi}{8} - \cos^2\frac{\pi}{8}\right)^2$ вынесем минус из скобки, чтобы применить формулу косинуса двойного угла. $$2\left(-\left(\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}\right)\right)^2$$ Так как $(-\text{X})^2 = \text{X}^2$, то: $$2\left(\cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8}\right)^2$$ Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$. $$2\left(\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)\right)^2 = 2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{8}\right)\right)^2 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)^2$$ Известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $$2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$ **Ответ: 1**