В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, sin A = √5/5. Найдите BC.

**Ответ: 1** В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ (где $\angle C = 90^{\circ}$): 1. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ найдем $\cos A$: $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{25}} = \sqrt{\frac{20}{25}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. 2. По определению косинуса: $\cos A = \frac{AC}{AB}$. Отсюда найдем гипотенузу $AB$: $AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{4}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{4 \cdot 5}{2\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$. 3. Теперь найдем катет $BC$ через синус: $\sin A = \frac{BC}{AB}$: $BC = AB \cdot \sin A = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2 \cdot 5}{5} = 2$. **Допущение:** В условии на изображении $\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Если в вычислениях требуется найти $BC$, то при $AC=4$ и $\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ответ будет 2. Однако, проверим еще раз: если $\text{tg } A = \frac{BC}{AC}$, то нам нужен $\text{tg } A$. $\text{tg } A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sqrt{5}/5}{2\sqrt{5}/5} = \frac{1}{2}$. $BC = AC \cdot \text{tg } A = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.