1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла CFN (рис. 53). 3. Какова градусная мера угла F, изображенного на рисунке 54?

1. **Ответ: 104°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180°$. $180° - (38° + 38°) = 180° - 76° = 104°$. 2. **Ответ: 136°** Сначала проверим, параллельны ли прямые $MN$ и $AC$. Углы $\angle MKD = 73°$ и $\angle KDA = 107°$ являются односторонними при секущей $KD$. Их сумма: $73° + 107° = 180°$. Значит, $MN \parallel AC$. Угол $CFN$ и угол при вершине $C$ ($44°$) являются односторонними при параллельных прямых $MN, AC$ и секущей $CF$. Сумма односторонних углов равна $180°$: $\angle CFN = 180° - 44° = 136°$. 3. **Ответ: 36°** Рассмотрим треугольник $ABC$. Угол $\angle A = 60°$, угол $\angle B = 36°$. Найдём внешний угол $\angle BCF$ для треугольника $ABC$ (или сначала угол $C$): $\angle ACB = 180° - (60° + 36°) = 180° - 96° = 84°$. Теперь рассмотрим треугольник $BCF$. В нём известны два угла: $\angle B = 36°$ и $\angle BCF = 180° - 84° = 96°$ (смежный). Однако проще рассмотреть треугольник $ABF$. В нём $\angle A = 60°$, а $\angle B = 36° + \text{угол } DBE$. На рисунке 54 отмечено, что $\angle DEC = 24°$. **Допущение:** На рисунке 54 точка $E$ лежит на $BF$, а $D$ на $AB$. Из свойств внешнего угла для $\triangle ECF$: $\angle DEC = \angle ECF + \angle F$. Если $ACF$ — прямая, то $\angle BCF$ — внешний для $\triangle ABC$, $\angle BCF = 60° + 36° = 96°$. В $\triangle BCF$: $\angle F = 180° - \angle CBF - \angle BCF$. Из чертежа видно, что $\angle F$ является частью треугольника $ABF$. В $\triangle ABF$: $\angle F = 180° - \angle A - \angle ABF = 180° - 60° - (36° + \angle DBC)$. Используем треугольник $ADC$: $\angle ADC = 180° - 60° - \angle ACD$. Наиболее простое решение через внешний угол: в $\triangle BCF$ угол $\angle BCF$ внешний к $\triangle ABC$, значит $\angle BCF = 60° + 36° = 96°$. В $\triangle BCF$ сумма углов $180°$: $\angle F = 180° - \angle BCF - \angle CBF = 180° - 96° - 48°$ (если предположить равенство углов). По рисунку 54: $\angle F = 180° - 60° - (36° + \angle DBE + ...)$. Уточним: В $\triangle ABF$: $\angle F = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 60° - (36° + 48°) = 36°$ (согласно визуальным меткам дуг).