Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

**1. Ответ: 104°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, два угла равны по $38^\circ$. Сумма углов треугольника всегда равна $180^\circ$. $180^\circ - (38^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$. **2. Ответ: 44°** Для начала проверим, параллельны ли прямые $MN$ и $AC$. Углы $\angle MKD = 73^\circ$ и $\angle KDA = 107^\circ$ являются внутренними односторонними. Их сумма: $73^\circ + 107^\circ = 180^\circ$. Если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые $MN$ и $AC$ параллельны ($MN \parallel AC$). Угол $\angle CFN$ (на рисунке отмечен как $F$) и угол $\angle FCA = 44^\circ$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $FC$. Накрест лежащие углы равны, значит: $\angle CFN = \angle FCA = 44^\circ$. **3. Ответ: 36°** Рассмотрим треугольник $ABC$ (большой треугольник без учета точки $F$). Сумма его углов $180^\circ$. Найдем $\angle ACB$ (внутри треугольника): $\angle ACB = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^\circ - (60^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$. Теперь найдем смежный с ним угол $\angle BCF$: $\angle BCF = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$. Рассмотрим треугольник $CEF$. Угол $\angle CEF$ вертикальный углу в $24^\circ$, значит $\angle CEF = 24^\circ$. Сумма углов в $\triangle CEF$ также $180^\circ$: $\angle F = 180^\circ - (\angle BCF + \angle CEF) = 180^\circ - (96^\circ + 24^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. **Допущение:** На рисунке 54 точка $E$ является пересечением $BF$ и линии из $D$. Если считать, что нам нужно найти угол $F$ в треугольнике $ABF$, то: В $\triangle ABF$: $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 36^\circ + \text{малый угол}$. Однако, на схеме дуга $36^\circ$ относится ко всему углу $B$. Тогда: $\angle F = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 36^\circ = 84^\circ$. Но, глядя на $\triangle CEF$ и вертикальный угол $24^\circ$: если рассмотреть внешний угол треугольника, $\angle BCF = \angle CEF + \angle F$. Так как данные на чертеже могут быть противоречивы или неточны, стандартный расчет для $\triangle ABF$ дает: $\angle F = 180^\circ - 60^\circ - 36^\circ - 48^\circ (\text{если } 48 - \text{это весь } C) = \text{неизвестно}$. Пересчитаем через треугольник $BCF$: внешний угол $\angle BCA = 84^\circ$. В треугольнике $BCF$: $\angle F + \angle CBF + \angle BCF = 180^\circ$. Без уточнения всех углов $B$, возьмем самый простой путь через сумму углов самого большого треугольника $ABF$: **Ответ:** $180^\circ - 60^\circ - (36^\circ + \text{угол } DBF)$. Если $36^\circ$ — это весь угол $B$, то $\angle F = 180 - 60 - 36 = 84^\circ$.