Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. **Ответ: 104^{\circ}** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. $$180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$$ 2. **Ответ: 44^{\circ}** Рассмотрим рисунок 53. Сначала проверим параллельность прямых $MN$ и $AC$. Углы $\angle MKD = 73^{\circ}$ и $\angle KDA = 107^{\circ}$ являются односторонними при секущей $KD$. $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$, следовательно, $MN \parallel AC$. Углы $\angle CFN$ и $\angle FCA$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $FC$. Следовательно, $\angle CFN = \angle FCA = 44^{\circ}$. 3. **Ответ: 120^{\circ}** Рассмотрим рисунок 54. В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^{\circ}$. Найдем угол $C$ (точнее, $\angle ACB$): $$\angle ACB = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$$ Угол $\angle BCF$ является развернутым, тогда смежный угол $\angle ACF$: $$\angle ACF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$$ Теперь рассмотрим треугольник $ACF$. Сумма его углов также $180^{\circ}$. Найдем угол $F$: $$\angle F = 180^{\circ} - (\angle CAF + \angle ACF) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 96^{\circ}) = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ}$$ **Допущение:** судя по обозначениям на чертеже (дуги), угол $F$ может быть частью другой фигуры. Если нужно найти внешний угол при вершине $F$ или угол в треугольнике $CEF$, данных на картинке (угол $24^{\circ}$ у точки $E$) достаточно, чтобы подтвердить расчеты. Уточним: в $\triangle CEF$ внешний угол $\angle ACE = 84^{\circ}$, тогда $\angle CEF = 180 - (84 + 24) = 72^{\circ}$. Однако вопрос просит меру угла $F$, которая вычислена выше.