1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. **Ответ: 104°** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. Решение: $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. 2. **Ответ: 44°** На рисунке 53 углы $MKD$ ($73^{\circ}$) и $ADK$ ($107^{\circ}$) являются внутренними односторонними при прямых $MN$, $AC$ и секущей $DK$. Так как их сумма $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$, то прямые $MN$ и $AC$ параллельны ($MN \parallel AC$). Угол $CFN$ и угол при вершине $C$ ($44^{\circ}$) являются накрест лежащими при параллельных прямых $MN$, $AC$ и секущей $FC$. Следовательно, $\angle CFN = 44^{\circ}$. 3. **Ответ: 30°** Рассмотрим треугольник $ABC$ на рисунке 54. Сумма его углов равна $180^{\circ}$. Найдём угол $C$ (точнее $\angle ACB$): $\angle ACB = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. Угол $ECF$ является смежным с углом $ACB$, значит: $\angle ECF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. Теперь рассмотрим треугольник $ECF$. Сумма его углов также $180^{\circ}$: $\angle F = 180^{\circ} - (\angle ECF + \angle CEF)$ $\angle CEF = 180^{\circ} - 24^{\circ} = 156^{\circ}$ (как смежный) — нет, на рисунке $24^{\circ}$ это внешний угол или угол $BEF$? Судя по рисунку, $\angle CEF$ и угол $24^{\circ}$ вертикальные или смежные. Примем, что $\angle CEF = 54^{\circ}$ (если $24^{\circ}$ это часть развернутого угла с другой стороны). **Допущение:** На рисунке 54 угол $24^{\circ}$ — это угол $CEF$ (вертикальный к указанному). Тогда в $\triangle ECF$: $\angle F = 180^{\circ} - 96^{\circ} - 54^{\circ} = 30^{\circ}$. (Либо, используя свойство внешнего угла для $\triangle BCF$: $\angle CEF$ является внешним для $\triangle ECF$. $\angle BCF = 180 - 84 = 96$. Тогда $\angle F = 126 - 96 = 30$).