1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38 градусов. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. **Ответ: 104^{\circ}** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) Сумма углов при основании: $38^{\circ} + 38^{\circ} = 76^{\circ}$. 2) Угол при вершине: $180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. 2. **Ответ: 73^{\circ}** Рассмотрим прямые $MN$ и $AC$ и секущую $KD$. Углы $\angle MKD = 73^{\circ}$ и $\angle KDA = 107^{\circ}$ являются односторонними. Проверим их сумму: $73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$. Так как сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$, прямые $MN$ и $AC$ параллельны ($MN \parallel AC$). Угол $\angle CFN$ и угол при вершине $C$, равный $73^{\circ}$ (из рисунка 53, отмечен как равный $\angle MKD$), являются накрест лежащими при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $FC$. Следовательно, $\angle CFN = 73^{\circ}$. 3. **Ответ: 48^{\circ}** 1) В $\triangle ABC$: $\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 36^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. 2) $\angle BCF$ является смежным с $\angle BCA$, но из рисунка видно, что $BC$ — прямая линия, образующая треугольник. Рассмотрим внешний угол $\angle ECF$ для $\triangle ABC$ или смежный. Судя по чертежу, $\angle ACB$ и $\angle BCF$ образуют развернутый угол? Нет, точки $A, C, F$ лежат на одной прямой. Тогда $\angle BCF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. 3) В $\triangle CEF$: $\angle E = 24^{\circ}$, $\angle C = 96^{\circ}$. Тогда $\angle F = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. *Примечание: Если рассматривать $\triangle ABF$, то $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 36^{\circ} + \dots$ (часть угла у $D$ не ясна).* **Допущение:** Точки $A, C, F$ лежат на одной прямой. В $\triangle ABF$: $\angle A = 60^{\circ}$, $\angle B = 36^{\circ} + \angle DBC$. Уточним через $\triangle CEF$. $\angle ECF = 180 - 84 = 96^{\circ}$. В $\triangle CEF$: $\angle F = 180 - 96 - 24 = 60^{\circ}$. 4. **Доказательство:** Так как $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом по определению. В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, $\angle A = \angle C$. Что и требовалось доказать. 5. **Ответ: 30 см** **Допущение:** Требуется найти катет $MN$ в прямоугольном треугольнике $MNF$ (где $\angle N = 90^{\circ}$). 1) В $\triangle MNF$: $\angle N = 90^{\circ}$, $\angle M = 30^{\circ}$, значит $\angle MFN = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 2) $FD$ — биссектриса $\angle MFN$, значит $\angle NFD = \angle MFD = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$. 3) В прямоугольном $\triangle DNF$: катет $DN$ лежит против угла $\angle NFD = 30^{\circ}$, значит $DN = \frac{1}{2} FD = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см. 4) В $\triangle MDF$: $\angle M = 30^{\circ}$ и $\angle MFD = 30^{\circ}$. Треугольник равнобедренный, $MD = FD = 20$ см. 5) $MN = MD + DN = 20 + 10 = 30$ см.