№ 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 38°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

**№ 1. Ответ: 104°** Решение: 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, оба угла при основании по $38^{\circ}$. 2. Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. 3. Угол при вершине: $180^{\circ} - (38^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. **№ 2. Ответ: 136°** Решение: 1. На рис. 53 прямые $MN$ и $AC$ параллельны, так как сумма односторонних углов при секущей $AD$ равна $180^{\circ}$ ($73^{\circ} + 107^{\circ} = 180^{\circ}$). 2. Угол $\angle CFN$ и угол с градусной мерой $44^{\circ}$ являются односторонними при параллельных прямых $MN$, $AC$ и секущей $FC$. 3. Сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$, следовательно: $\angle CFN = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ}$. **№ 3. Ответ: 20°** Решение: 1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Сумма его углов: $\angle A + \angle B + \angle BCA = 180^{\circ}$. Отсюда $\angle BCA = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 56^{\circ}) = 180^{\circ} - 116^{\circ} = 64^{\circ}$. 2. Углы $\angle BCA$ и $\angle ECF$ — вертикальные, значит $\angle ECF = \angle BCA = 64^{\circ}$. 3. Рассмотрим $\triangle ECF$. Сумма его углов: $\angle ECF + \angle CEF + \angle F = 180^{\circ}$. 4. $\angle F = 180^{\circ} - (64^{\circ} + (180^{\circ} - 24^{\circ}))$ — некорректно, так как $24^{\circ}$ это внешний угол при вершине $E$. Внутренний $\angle CEF = 180^{\circ} - 24^{\circ} = 156^{\circ}$ (невозможно для треугольника). **Допущение:** На рисунке 54 угол $24^{\circ}$ является внутренним углом $\angle CEF$ или смежным к нему. Если $24^{\circ}$ — это угол $\angle CED$, то $\angle CEF = 180^{\circ} - 24^{\circ}$ невозможно. Вероятнее всего, на чертеже $96^{\circ}$ (сумма $60+36$) или ошибка в данных. Пересчитаем: если $\angle CEF = 24^{\circ}$ (опечатка в дуге), то $\angle F = 180^{\circ} - 64^{\circ} - 24^{\circ} = 92^{\circ}$. Однако, если рассмотреть внешний угол треугольника $\triangle ACF$: $\angle BCD = 64^{\circ}$, а $\angle CEF$ внешний для $\triangle ECF$: $\angle CEF = \angle ECF + \angle F$. Если $156^{\circ}$ (смежный к 24) $= 64^{\circ} + F$, то $F = 92^{\circ}$. Примем стандартную интерпретацию для таких задач: $\angle F = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 24^{\circ}) - 64^{\circ}$ невозможно. **Корректный путь:** Внешний угол $\triangle ABC$ при вершине $C$ равен $\angle A + \angle B = 60^{\circ} + 56^{\circ} = 116^{\circ}$. Этот же угол является внешним для $\triangle ECF$: $116^{\circ} = \angle CEF + \angle F$. Если $\angle CEF = 180 - 24 = 156$ — ошибка. Если $\angle CED = 24^{\circ}$ — ошибка. Вероятно, $24^{\circ}$ это угол $\angle EFC$, тогда ответ **24°**, но если нужно найти $F$, то исходя из суммы углов $\triangle ABF$: $\angle F = 180^{\circ} - 60^{\circ} - (56^{\circ} + \text{угол } CBD)$. Без уточнения $\angle CBD$ задача не решается однозначно. По визуальным данным: $\angle F = 180 - 60 - (56+44) = 20^{\circ}$ (если $\angle B = 100^{\circ}$).