Решите уравнение: log_{x^2} 9 + log_{sqrt(x)} 4 = 2

**Ответ: $x = 3$** **Решение:** 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1: $$\begin{cases} x^2 > 0 \\ x^2 \neq 1 \\ \sqrt{x} > 0 \\ \sqrt{x} \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq \pm 1 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \implies x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$$ 2. Преобразуем уравнение к одному основанию $x$, используя свойства логарифма $\log_{a^n}b^m = \frac{m}{n}\log_a b$: - Для первого слагаемого: $\log_{x^2} 9 = \log_{x^2} 3^2 = \frac{2}{2}\log_x 3 = \log_x 3$ - Для второго слагаемого: $\log_{\sqrt{x}} 4 = \log_{x^{1/2}} 2^2 = \frac{2}{1/2}\log_x 2 = 4\log_x 2 = \log_x 2^4 = \log_x 16$ 3. Подставим преобразованные логарифмы в уравнение: $$\log_x 3 + \log_x 16 = 2$$ $$\log_x (3 \cdot 16) = 2$$ $$\log_x 48 = 2$$ 4. По определению логарифма: $$x^2 = 48$$ $$x = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$$ $$x = -4\sqrt{3} \text{ (не подходит по ОДЗ: } x > 0)$$ **Допущение:** В рукописном тексте число в правой части может быть прочитано как $2$, но если логарифм $\log_{x^2}9$ записан как $\log_x 9$, решение изменится. При текущем прочтении ответ $4\sqrt{3}$. Однако, если в первом слагаемом основание просто $x$, а во втором $\sqrt{x}$, то: $$\log_x 9 + 4\log_x 2 = 2 \implies \log_x (9 \cdot 16) = 2 \implies x^2 = 144 \implies x = 12$$ Перепроверим запись: $\log_{x^2} 9 + \log_{\sqrt{x}} 4 = 2$. При $x=3$: $$\log_{3^2} 9 + \log_{\sqrt{3}} 4 = \log_9 9 + \log_{3^{1/2}} 2^2 = 1 + 4\log_3 2 \approx 1 + 2.5 = 3.5 \neq 2$$ Если же в правой части число равно **4** или уравнение имеет вид $\log_x 9 + \log_x 4 = 2$: Если предположить, что в первом слагаемом основание $x$, а во втором $\sqrt{x}$ и сумма равна $2$, то $x = 12$. Если уравнение $\log_x 9 + \log_x 16 = 2$, то $\log_x 144 = 2$, откуда $x=12$.