Реши логарифмическое уравнение log √5 (16-6) = 2 + log √5 (4x - 2)

Прежде чем решать логарифмическое уравнение, нужно убедиться, что все его части определены. 1. Определим ОДЗ (область допустимых значений) для данного уравнения. Для этого нужно, чтобы выражения под знаками логарифмов были положительными: * $16^x - 6 > 0$ * $4^x - 2 > 0$ 2. Решим каждое из этих неравенств: * $16^x > 6$ => $x > \log_{16}6$ * $4^x > 2$ => $x > \log_{4}2 = \frac{1}{2}$ 3. Теперь решим само уравнение. Используем свойства логарифмов, чтобы упростить его: $\log_{\sqrt{5}}(16^x - 6) = 2 + \log_{\sqrt{5}}(4^x - 2)$ Перенесем логарифм в левую часть: $\log_{\sqrt{5}}(16^x - 6) - \log_{\sqrt{5}}(4^x - 2) = 2$ Применим свойство логарифма частного: $\log_{\sqrt{5}}(\frac{16^x - 6}{4^x - 2}) = 2$ Избавимся от логарифма: $\frac{16^x - 6}{4^x - 2} = (\sqrt{5})^2 = 5$ $16^x - 6 = 5(4^x - 2)$ $16^x - 6 = 5 \cdot 4^x - 10$ $16^x - 5 \cdot 4^x + 4 = 0$ Сделаем замену $y = 4^x$, тогда $y^2 = 16^x$: $y^2 - 5y + 4 = 0$ Решим квадратное уравнение. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$ $y_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$ $y_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$ Вернемся к замене: $4^x = 4$ или $4^x = 1$ $x_1 = 1$ или $x_2 = 0$ 4. Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ: * $x_1 = 1$: $1 > \frac{1}{2}$ (условие $x > \log_{4}2$) - подходит. * $x_2 = 0$: $0 > \frac{1}{2}$ - не подходит. **Ответ: x = 1**