Найти значение выражения: √75^2 - 72^2.

Привет! Давай разберем задания из билета. 1. Найти значение выражения $\sqrt{75^2 - 72^2}$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $\sqrt{(75-72)(75+72)} = \sqrt{3 \cdot 147} = \sqrt{441} = 21$. **Ответ: 21** 2. Найти корень уравнения $-x = \frac{8x - 81}{x - 8}$. Умножим обе части на $(x-8)$, учитывая $x \neq 8$: $-x(x - 8) = 8x - 81$ $-x^2 + 8x = 8x - 81$ $-x^2 = -81$, следовательно $x^2 = 81$, $x_1 = 9, x_2 = -9$. Оба корня подходят. Меньший из них: -9. **Ответ: -9** 3. В сосуд с 8 л 20% раствора добавили 12 л воды. Концентрация нового раствора? Найдем количество вещества: $8 \cdot 0,2 = 1,6$ литра. Общий объем раствора: $8 + 12 = 20$ литров. Концентрация: $\frac{1,6}{20} = 0,08$, или $8\%$. **Ответ: 8** 4. Найти длину $AC$, если $A(0;3)$ и $C(4;0)$. По формуле расстояния между точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$: $AC = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$. **Ответ: 5** 5. В треугольнике $ABC$ угол $C=90^{\circ}$, $AC=16$, $CB=12$. Найти $\cos B$? Гипотенуза $AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$. $\cos B = \frac{CB}{AB} = \frac{12}{20} = 0,6$. **Ответ: 0,6** 6. $S(t) = 5t^2 - 40t + 16$. Найти скорость в момент $t = 10$ сек. Скорость есть производная от пути: $v(t) = S'(t) = 10t - 40$. $v(10) = 10 \cdot 10 - 40 = 60$. **Ответ: 60** 7. По графику определить промежутки убывания функции. Функция убывает там, где график «идет вниз». Смотрим на оси: функция убывает на интервале $(-\infty; 1]$. **Ответ: $(-\infty; 1]$** 8. Найти точку минимума: $f(x) = \frac{x^3}{3} - 25x + 8$. Находим производную: $f'(x) = x^2 - 25$. Приравниваем к нулю: $x^2 - 25 = 0$, $x = \pm 5$. Методом интервалов определяем знаки производной: на $(-\infty; -5)$ плюс, на $(-5; 5)$ минус, на $(5; \infty)$ плюс. Минимум там, где производная меняет знак с минус на плюс: это $x = 5$. **Ответ: 5** 9. Объем конуса $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Высота $h = 24$, диаметр $14 \Rightarrow$ радиус $r = 7$. $V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 7^2 \cdot 24 = \pi \cdot 49 \cdot 8 = 392\pi$. **Ответ: 392\pi** 10. В цилиндр налили $2000$ см³ (высота $12$). Погрузили деталь, уровень поднялся на $9$ см. Объем детали равен объему вытесненной жидкости (цилиндра высотой $9$ см). Площадь основания $S = \frac{V}{h} = \frac{2000}{12} = \frac{500}{3}$. Объем детали $V_{det} = S \cdot \Delta h = \frac{500}{3} \cdot 9 = 500 \cdot 3 = 1500$. **Ответ: 1500**