Решите уравнение: log_{√3} (x - 2) log_5 x = 2 log_3 (x - 2)

Question

Вопрос:

Решите уравнение: log_{√3} (x - 2) log_5 x = 2 log_3 (x - 2)

$Решите уравнение: log_{√3} (x - 2) log_5 x = 2 log_3 (x - 2)$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: $x_1 = 3$; $x_2 = 5$** **Решение:** 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 2$$ 2. Преобразуем основание первого логарифма $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$: $$\log_{3^{\frac{1}{2}}} (x - 2) \cdot \log_5 x = 2 \log_3 (x - 2)$$ $$2 \log_3 (x - 2) \cdot \log_5 x = 2 \log_3 (x - 2)$$ 3. Разделим обе части на 2: $$\log_3 (x - 2) \cdot \log_5 x = \log_3 (x - 2)$$ 4. Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель за скобки: $$\log_3 (x - 2) \cdot (\log_5 x - 1) = 0$$ 5. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: а) $\log_3 (x - 2) = 0$ $$x - 2 = 3^0$$ $$x - 2 = 1$$ $$x_1 = 3$$ б) $\log_5 x - 1 = 0$ $$\log_5 x = 1$$ $$x_2 = 5^1$$ $$x_2 = 5$$ 6. Оба корня входят в ОДЗ ($3 > 2$ и $5 > 2$).

Решите уравнение: log_{√3} (x - 2) log_5 x = 2 log_3 (x - 2)

Ответ ассистента

Другие решения