Решите уравнение log2((x+4)/x) + log2(x^2) = 5

Question

Вопрос:

Решите уравнение log2((x+4)/x) + log2(x^2) = 5

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

**Ответ: x_1 = 4, x_2 = -8** **Решение:** 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под логарифмами должны быть строго больше нуля: $$\begin{cases} \frac{x+4}{x} > 0 \\ x^2 > 0 \end{cases}$$ Из второго условия $x \neq 0$. Из первого (методом интервалов) $x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)$. 2. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$: $$\log_2 \left( \frac{x+4}{x} \cdot x^2 \right) = 5$$ 3. Упростим выражение под логарифмом: $$\log_2 (x(x+4)) = 5$$ $$\log_2 (x^2 + 4x) = 5$$ 4. По определению логарифма: $$x^2 + 4x = 2^5$$ $$x^2 + 4x = 32$$ $$x^2 + 4x - 32 = 0$$ 5. Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-4 \pm 12}{2}$$ $$x_1 = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-16}{2} = -8$$ 6. Проверим корни по ОДЗ: - $x = 4$ входит в промежуток $(0; +\infty)$. - $x = -8$ входит в промежуток $(-\infty; -4)$. Оба корня подходят.

Решите уравнение log2((x+4)/x) + log2(x^2) = 5

Ответ ассистента

Другие решения