Решите уравнение log^2_2 x - 9 log_8 x = 4

Для решения логарифмического уравнения $\log^2_2 x - 9 \log_8 x = 4$ выполним следующие шаги: 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** $x > 0$. 2. **Приведение к одному основанию:** Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ для второго слагаемого: $\log_8 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 8} = \frac{\log_2 x}{3}$. 3. **Подстановка в уравнение:** $\log^2_2 x - 9 \cdot \frac{\log_2 x}{3} = 4$ $\log^2_2 x - 3 \log_2 x - 4 = 0$ 4. **Замена переменной:** Пусть $t = \log_2 x$. Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 3t - 4 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 4$ $t_2 = -1$ 5. **Обратная замена:** 1) $\log_2 x = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16$ 2) $\log_2 x = -1 \Rightarrow x = 2^{-1} = 0,5$ Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$). **Ответ: 0,5; 16.**