Решите уравнение (x²-49)² + (x²+6x-7)² = 0; Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода...

**20. Ответ: -7; 1** Решим уравнение $(x^2-49)^2 + (x^2+6x-7)^2 = 0$. Сумма квадратов двух выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю одновременно: $$\begin{cases} x^2 - 49 = 0 \\ x^2 + 6x - 7 = 0 \end{cases}$$ 1. Решим первое уравнение: $x^2 = 49 \Rightarrow x_1 = 7, x_2 = -7$. 2. Подставим эти значения во второе уравнение: - При $x = 7$: $7^2 + 6 \cdot 7 - 7 = 49 + 42 - 7 = 84 \neq 0$ (не подходит). - При $x = -7$: $(-7)^2 + 6 \cdot (-7) - 7 = 49 - 42 - 7 = 0$ (подходит). 3. Также второе уравнение $x^2 + 6x - 7 = 0$ имеет корни $1$ и $-7$ (по теореме Виета). Общим корнем для обоих уравнений является только $-7$. **21. Ответ: 200 метров** 1. Скорость поезда относительно пешехода при движении в одном направлении: $v_{отн} = 93 - 3 = 90$ км/ч. 2. Переведём скорость в м/с: $90 \text{ км/ч} = \frac{90 \cdot 1000}{3600} = 25$ м/с. 3. Длина поезда равна расстоянию, которое он проходит мимо пешехода: $L = v_{отн} \cdot t = 25 \cdot 8 = 200$ м. **22. Ответ: при m = -4 и m = 0** Построим график функции $y = x|x| + |x| - 5x$. Раскроем модули: 1) При $x \ge 0$: $y = x^2 + x - 5x = x^2 - 4x$. Вершина параболы: $x_0 = -\frac{-4}{2} = 2$, $y_0 = 2^2 - 4\cdot2 = -4$. 2) При $x < 0$: $y = -x^2 - x - 5x = -x^2 - 6x$. Вершина параболы: $x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -3$, $y_0 = -(-3)^2 - 6\cdot(-3) = -9 + 18 = 9$. :::div .chart-container @chart-1::: Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки, когда она проходит через вершину одной параболы (и пересекает вторую ветку) или касается графика в характерных точках. Из графика видно, что это значения $y = -4$ (вершина первой параболы) и $y = 0$ (точка стыка графиков). **23. Ответ: 20** В прямоугольном треугольнике $ABC$ высота $BH$, проведенная к гипотенузе, делит его на два треугольника, подобных исходному. Катет $AB$ есть среднее геометрическое между гипотенузой $AC$ и его проекцией $AH$ на гипотенузу: $$AB^2 = AH \cdot AC$$ $$AB^2 = 10 \cdot 40 = 400$$ $$AB = \sqrt{400} = 20$$ **24. Доказательство:** 1. Так как около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Значит, $\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$. 2. Углы $\angle ABC$ и $\angle KBA$ — смежные, поэтому $\angle KBA + \angle ABC = 180^\circ$. Отсюда $\angle KBA = \angle ADC$. 3. Углы $\angle BCD$ и $\angle KAB$ также связаны через свойство вписанного четырёхугольника: $\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ$. Смежный угол $\angle KAB + \angle BAD = 180^\circ$. Отсюда $\angle KAB = \angle BCD$. 4. В треугольниках $KAB$ и $KCD$ угол $\angle K$ общий, а $\angle KAB = \angle KCD$. Треугольники подобны по двум углам. Что и требовалось доказать.