Решите уравнение $(x-2)^4 + 3(x-2)^2 - 10 = 0$.

1. Реши уравнение $(x-2)^4 + 3(x-2)^2 - 10 = 0$. Пусть $t = (x-2)^2$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 + 3t - 10 = 0$$ Найдём дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$ $$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$t_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ $$t_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Теперь вернёмся к замене: Случай 1: $(x-2)^2 = -5$ Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому в этом случае решений нет. Случай 2: $(x-2)^2 = 2$ Извлекаем квадратный корень из обеих частей: $$x-2 = \pm\sqrt{2}$$ $$x = 2 \pm \sqrt{2}$$ **Ответ: $x_1 = 2 - \sqrt{2}$, $x_2 = 2 + \sqrt{2}$** 2. Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч. **Допущение: Лодка и плот двигались равномерно.** Пусть $v_л$ — скорость лодки в неподвижной воде, км/ч. Скорость течения $v_{теч} = 5$ км/ч. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть $v_п = 5$ км/ч. Плот проплыл 30 км. Время, которое плот был в пути: $t_п = \frac{S_п}{v_п} = \frac{30}{5} = 6$ часов. Моторная лодка отправилась через 1 час после плота, поэтому время движения лодки $t_л = t_п - 1 = 6 - 1 = 5$ часов. Лодка плыла по течению реки из А в В (расстояние 60 км), затем против течения реки из В в А (расстояние 60 км). Скорость лодки по течению: $v_л + v_{теч} = v_л + 5$. Скорость лодки против течения: $v_л - v_{теч} = v_л - 5$. Время, за которое лодка проплыла по течению: $t_{по} = \frac{60}{v_л + 5}$. Время, за которое лодка проплыла против течения: $t_{против} = \frac{60}{v_л - 5}$. Общее время движения лодки равно 5 часам: $$t_{по} + t_{против} = t_л$$ $$\frac{60}{v_л + 5} + \frac{60}{v_л - 5} = 5$$ Умножим обе части уравнения на $(v_л + 5)(v_л - 5)$: $$60(v_л - 5) + 60(v_л + 5) = 5(v_л + 5)(v_л - 5)$$ $$60v_л - 300 + 60v_л + 300 = 5(v_л^2 - 25)$$ $$120v_л = 5v_л^2 - 125$$ Разделим на 5: $$24v_л = v_л^2 - 25$$ Перенесём все члены в одну сторону: $$v_л^2 - 24v_л - 25 = 0$$ Найдём дискриминант: $$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$$ $$v_л = \frac{-(-24) \pm 26}{2 \cdot 1}$$ $$v_{л1} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ — этот корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной. $$v_{л2} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25$$ Скорость лодки в неподвижной воде 25 км/ч. **Ответ: 25 км/ч** 3. Постройте график функции $$y=\begin{cases} -x^2-2x+2 & \text{при } x \geq -3 \\ -x-2 & \text{при } x < -3 \end{cases}$$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки. Сначала построим график функции: Для $x < -3$ функция $y = -x - 2$ это прямая. | x | y = -x - 2 | |---|------------| | -3 | 1 | | -4 | 2 | Для $x \geq -3$ функция $y = -x^2 - 2x + 2$ это парабола, ветви направлены вниз. Найдём координаты вершины параболы: $$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$$ $$y_в = -(-1)^2 - 2(-1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$$ Вершина параболы: $(-1; 3)$. Найдём значения функции в нескольких точках: | x | y = -x^2 - 2x + 2 | |---|---------------------| | -3 | -(-3)^2 - 2(-3) + 2 = -9 + 6 + 2 = -1 | | -2 | -(-2)^2 - 2(-2) + 2 = -4 + 4 + 2 = 2 | | -1 | 3 | | 0 | 2 | | 1 | -1 | :::div .chart-container @chart-1::: Теперь определим, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки. Посмотрим на график: 1. Если $m = 1$, прямая $y = 1$ пересекает график в двух точках (в точке $(-3; 1)$ и ещё одной на параболе). 2. Если $m = 3$, прямая $y = 3$ пересекает график в одной точке (вершина параболы). 3. Если $m < -1$, прямая $y=m$ пересекает график в одной точке на параболе. 4. Если $m = -1$, прямая $y = -1$ пересекает график в двух точках (в точке $(-3; -1)$ и ещё одной на параболе). 5. Если $1 < m < 3$, прямая $y=m$ пересекает график в трёх точках (одну на прямой $y=-x-2$ и две на параболе). 6. Если $m > 3$, прямая $y=m$ не пересекает график. Точек пересечения будет ровно две в следующих случаях: * Прямая $y=m$ проходит через точку $(-3; -1)$. Это значит $m = -1$. В этом случае будет точка $(-3; -1)$ и ещё одна точка на параболе (для $x > -3$). * Прямая $y=m$ проходит через точку $(-3; 1)$. Это значит $m = 1$. В этом случае будет точка $(-3; 1)$ на прямой $y=-x-2$ и ещё одна точка на параболе (для $x > -3$). * Прямая $y=m$ лежит выше вершины параболы, но ниже точки $y=1$ (то есть $-1 < m < 1$). В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках, но не пересекает $y=-x-2$. * Прямая $y=m$ пересекает вершину параболы ($y=3$) и одну точку на $y=-x-2$ (при $x < -3$). Проанализируем внимательнее по точкам: * При $m < -1$: одна точка пересечения (на параболе, $x > -3$). * При $m = -1$: две точки пересечения (одна на параболе $x=-3$, вторая на параболе $x > -3$). * При $-1 < m < 1$: три точки пересечения (одна на прямой $x < -3$, две на параболе $x \geq -3$). * При $m = 1$: две точки пересечения (одна на прямой $x < -3$, одна на параболе $x \geq -3$). * При $1 < m < 3$: две точки пересечения (две на параболе $x \geq -3$). * При $m = 3$: одна точка пересечения (вершина параболы). * При $m > 3$: нет точек пересечения. Похоже, я ошибся в анализе. Давайте перепроверим. График состоит из двух частей: 1. Прямая $y = -x - 2$ для $x < -3$. Здесь значения $y$ будут больше 1. То есть $y \in (1; +\infty)$. Крайняя точка $(-3; 1)$ не входит в эту часть. 2. Парабола $y = -x^2 - 2x + 2$ для $x \geq -3$. Вершина $(-1; 3)$. При $x=-3$, $y = -(-3)^2 - 2(-3) + 2 = -9 + 6 + 2 = -1$. Точка $(-3; -1)$. Итак, график выглядит так: * Для $x < -3$, это луч, идущий из точки $(-3; 1)$ (не включая её) вверх и влево. То есть $y > 1$. * Для $x \geq -3$, это часть параболы, идущая от точки $(-3; -1)$ вверх до вершины $(-1; 3)$, а затем вниз. Таким образом, значения $y$ для этой части $y \in (-\infty; 3]$. Теперь посмотрим на прямую $y = m$. 1. Если $m > 3$: прямая $y=m$ не пересекает график, так как максимальное значение параболы $y=3$, а луч $y=-x-2$ имеет значения $y>1$, но нигде не достигает $y>3$. 2. Если $m = 3$: прямая $y=3$ пересекает график в одной точке — вершине параболы $(-1; 3)$. 3. Если $1 < m < 3$: прямая $y=m$ пересекает только часть параболы $y = -x^2 - 2x + 2$ в двух точках. 4. Если $m = 1$: прямая $y=1$ пересекает параболу в точке, где $y=1$. $-x^2 - 2x + 2 = 1 \Rightarrow -x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 1 = 0$. $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$. Одна из этих точек $x = -1 + \sqrt{2} \approx 0.41$ и $x = -1 - \sqrt{2} \approx -2.41$. Обе подходят, так как $x \geq -3$. И еще прямая $y=1$ является границей луча $y=-x-2$, но сам луч не включает точку $(-3;1)$, поэтому пересечений с лучом нет, только две точки с параболой. То есть $m=1$ подходит. 5. Если $m = -1$: прямая $y=-1$ пересекает график в двух точках: $(-3; -1)$ и ещё одной на параболе, где $-x^2 - 2x + 2 = -1 \Rightarrow -x^2 - 2x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$. $(x+3)(x-1)=0$. $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. Обе подходят для параболы, так как $x \geq -3$. Так что при $m = -1$ прямая пересекает параболу в двух точках, при этом точка $(-3;-1)$ - это одна из этих двух точек. И луч $y=-x-2$ не пересекается (так как $y > 1$). Значит, $m=-1$ подходит (две точки). 6. Если $-1 < m < 1$: прямая $y=m$ пересекает параболу в двух точках (для $x \geq -3$). Она не пересекает луч $y=-x-2$, так как $y>1$ для луча. 7. Если $m < -1$: прямая $y=m$ пересекает параболу в двух точках (для $x \geq -3$). Ладно, давайте еще раз внимательно смотреть на области определения и значения. Функция $y_1 = -x^2 - 2x + 2$ при $x \geq -3$. Вершина $(-1; 3)$. Точка при $x=-3$ это $y = -(-3)^2 - 2(-3) + 2 = -9 + 6 + 2 = -1$. То есть, эта часть графика идет от $(-3; -1)$ до $(-1; 3)$ и потом вниз. Функция $y_2 = -x - 2$ при $x < -3$. При $x=-3$, $y = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1$. Но эта точка не включается в область определения. То есть, эта часть графика - луч, начинающийся от точки $(-3; 1)$ и уходящий вверх-влево. Значения $y$ здесь $y > 1$. График функции: - Правая часть ($x \geq -3$): парабола, проходящая через $(-3; -1)$, вершина $(-1; 3)$, затем вниз. - Левая часть ($x < -3$): луч, идущий из $(-\infty; 1)$ по $y$ до $1$ (не включая), то есть $y \in (1; +\infty)$. Теперь к вопросу, когда $y=m$ имеет ровно две общие точки. 1. Если $m > 3$: нет пересечений (луч не доходит, парабола выше 3 не поднимается). 2. Если $m = 3$: одна точка (вершина параболы $(-1; 3)$). 3. Если $1 < m < 3$: две точки пересечения (на параболе $y=-x^2-2x+2$). 4. Если $m = 1$: одна точка пересечения (парабола $y=-x^2-2x+2$ при $x=-1\pm\sqrt{2}$ дает $y=1$. Луч $y=-x-2$ не включает точку $(-3;1)$). Здесь будет две точки. Уточнение: $x^2+2x-1=0 \implies x=-1 \pm \sqrt{2}$. Оба значения $x$ больше или равны $-3$. $-1 + \sqrt{2} \approx 0.41$ (больше $-3$) $-1 - \sqrt{2} \approx -2.41$ (больше $-3$) Значит, при $m=1$ есть две точки на параболе. Эти точки $(-1+\sqrt{2}; 1)$ и $(-1-\sqrt{2}; 1)$. Всего 2 точки. 5. Если $-1 < m < 1$: две точки пересечения (на параболе $y=-x^2-2x+2$). Луч $y=-x-2$ имеет $y>1$. 6. Если $m = -1$: две точки пересечения (на параболе $y=-x^2-2x+2$ при $x=-3$ и $x=1$). 7. Если $m < -1$: две точки пересечения (на параболе $y=-x^2-2x+2$). Итак, внимательно, при $x=-3$ парабола даёт $y=-1$, а прямая даёт $y=1$. * $m > 3$: 0 точек. * $m = 3$: 1 точка (вершина параболы). * $1 < m < 3$: 2 точки (на параболе). * $m = 1$: две точки. Эти точки $(-1+\sqrt{2}; 1)$ и $(-1-\sqrt{2}; 1)$ с параболой. (луч $y=-x-2$ при $x=-3$ дает $y=1$, но эта точка не входит в область определения луча, поэтому с лучом нет пересечений). * $-1 < m < 1$: две точки (на параболе). * $m = -1$: две точки. Одна из них $(-3; -1)$. Вторая точка $(1; -1)$. * $m < -1$: две точки (на параболе). Значения $m$, при которых прямая $y=m$ имеет ровно две общие точки: * Если $1 < m < 3$. (2 точки на параболе) * Если $m = 1$. (2 точки на параболе). * Если $-1 < m < 1$. (2 точки на параболе). * Если $m = -1$. (2 точки на параболе). * Если $m < -1$. (2 точки на параболе). Объединим это: $m < 3$, но $m \neq 3$. Давайте еще раз посмотрим на график. Правая часть графика (парабола) идёт от $(-\infty, 3]$ по оси $y$. То есть при $m \le 3$, прямая $y=m$ пересекает параболу. Левая часть графика (луч) идёт от $(1, +\infty)$ по оси $y$. То есть при $m > 1$, прямая $y=m$ пересекает луч. Нам нужно ровно две точки. 1. $m > 3$: нет точек. 2. $m = 3$: одна точка (вершина параболы). 3. $m = 1$: две точки (на параболе $y=-x^2-2x+2$). Лучевая часть графика не содержит точку $(-3;1)$. 4. Если $1 < m < 3$: две точки пересечения с параболой. 5. Если $-1 < m < 1$: две точки пересечения с параболой. 6. Если $m = -1$: две точки пересечения с параболой ($-3; -1$ и $1; -1$). 7. Если $m < -1$: две точки пересечения с параболой. Проблема в том, что в моем анализе для $m \in (-1, 1)$ и $m < -1$ всегда получается 2 точки, а для $m > 1$ и $m < 3$ тоже 2 точки. Это очень странно. Ещё раз по точкам: * $m=3$: ровно 1 точка (вершина параболы). * $m \in (1; 3)$: ровно 2 точки (две точки на параболе). * $m=1$: ровно 2 точки (парабола пересекается в $x = -1 \pm \sqrt{2}$). Левая часть графика $y=-x-2$ не включает $y=1$. * $m \in (-1; 1)$: ровно 2 точки (две точки на параболе). Левая часть графика $y=-x-2$ имеет $y>1$, поэтому не пересекается. * $m=-1$: ровно 2 точки (парабола пересекается в $x=-3$ и $x=1$). Левая часть графика $y=-x-2$ имеет $y>1$, поэтому не пересекается. * $m < -1$: ровно 2 точки (две точки на параболе). Что-то не так в понимании графика. Построим его и посмотрим. $y = -x^2 - 2x + 2 = -(x^2 + 2x) + 2 = -(x+1)^2 + 1 + 2 = -(x+1)^2 + 3$. Это парабола с вершиной $(-1; 3)$, ветви вниз. Эта часть определена для $x \geq -3$. Значения $y$ для этой части: $y(-3) = -(-3)^2 - 2(-3) + 2 = -9+6+2=-1$. Значения от $-1$ до $3$ и потом вниз до $-\infty$. $y = -x - 2$ для $x < -3$. Эта часть определена для $x < -3$. Значения $y$ для этой части: $y(-3) = 1$. При $x < -3$, $-x > 3$, $-x-2 > 1$. Значения $y$ от $1$ до $+\infty$ (не включая $y=1$). Объединяем: * Луч $y = -x - 2$ идет от $(-\infty, +\,\infty)$ по $x$, но для $x < -3$ это значения $y > 1$. * Парабола $y = -(x+1)^2 + 3$ для $x \geq -3$. Эта часть графика начинается в точке $(-3; -1)$, поднимается до вершины $(-1; 3)$, а затем опускается вниз. По оси $y$: * При $m > 3$: нет точек. * При $m = 3$: одна точка (вершина параболы $(-1; 3)$). * При $1 < m < 3$: две точки. Одна на параболе (от $-3$ до $-1$), другая на параболе (от $-1$ и далее). Плюс одна точка на луче $y = -x - 2$ (так как $y > 1$). **Итого 3 точки.** Например, при $m=2$: $y=-x-2$ пересекает в $x=-4$. $y=-x^2-2x+2$ пересекает в двух точках (например $x=-2$ и $x=0$). Итого 3 точки. * При $m = 1$: две точки. Одна из них на параболе при $x=-1-\sqrt{2}$. Другая на параболе при $x=-1+\sqrt{2}$. Но точка $(-3;1)$ для луча не входит в график. **Итого 2 точки.** * При $-1 < m < 1$: две точки (на параболе). Луч не пересекает, так как $y>1$. * При $m = -1$: две точки (на параболе). Это точки $(-3; -1)$ и $(1; -1)$. Луч не пересекает. **Итого 2 точки.** * При $m < -1$: две точки (на параболе). Луч не пересекает. **Итого 2 точки.** Итак, при каких $m$ ровно две точки: * $m = 1$ (2 точки) * $m = -1$ (2 точки) * $m < -1$ (2 точки) * $-1 < m < 1$ (2 точки) Объединяем эти интервалы: $m \in (-\infty; 1]$. И ещё: $m \in (1; 3)$ дает 3 точки. Окончательный анализ: 1. $m > 3$: нет точек. 2. $m = 3$: 1 точка (вершина параболы). 3. $1 < m < 3$: 3 точки (одна на луче $y=-x-2$, две на параболе $y=-x^2-2x+2$). 4. $m = 1$: 2 точки (две на параболе $y=-x^2-2x+2$, луч $y=-x-2$ не включает точку $(-3;1)$). 5. $-1 < m < 1$: 2 точки (две на параболе $y=-x^2-2x+2$). Луч $y=-x-2$ имеет $y>1$, поэтому не пересекается. 6. $m = -1$: 2 точки (на параболе $y=-x^2-2x+2$, при $x=-3$ и $x=1$). Луч $y=-x-2$ имеет $y>1$, поэтому не пересекается. 7. $m < -1$: 2 точки (на параболе $y=-x^2-2x+2$). Луч $y=-x-2$ имеет $y>1$, поэтому не пересекается. Таким образом, $y=m$ имеет ровно две общие точки, когда: $m \in (-\infty; 1]$ и $m \ne 3$. Это $m \in (-\infty; -1] \cup (-1; 1] = (-\infty; 1]$. **Ответ: $m \in (-\infty; 1]$** 4. Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 8$ и $CH = 2$. Найдите высоту ромба. Поскольку $ABCD$ — ромб, все его стороны равны. Сторона $CD = DH + CH = 8 + 2 = 10$. Значит, $AD = CD = 10$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$ (так как $AH$ — высота, то $AH \perp CD$). По теореме Пифагора: $$AH^2 + DH^2 = AD^2$$ $$AH^2 + 8^2 = 10^2$$ $$AH^2 + 64 = 100$$ $$AH^2 = 100 - 64$$ $$AH^2 = 36$$ $$AH = \sqrt{36}$$ $$AH = 6$$ Высота ромба $AH = 6$. **Ответ: 6** 5. Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $F$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади параллелограмма. Пусть $S_{ABCD}$ — площадь параллелограмма $ABCD$. Обозначим высоту параллелограмма, проведенную к стороне $BC$ (или $AD$), как $h$. Площадь параллелограмма: $S_{ABCD} = AD \cdot h$. Проведем через точку $F$ прямую, параллельную $AD$ и $BC$. Обозначим точки пересечения этой прямой со сторонами $AB$ и $CD$ как $M$ и $N$ соответственно. Площадь треугольника $AFD$: $S_{AFD} = \frac{1}{2} AD \cdot h_1$, где $h_1$ — высота треугольника $AFD$, проведенная из $F$ к $AD$. $h_1$ — это расстояние от $F$ до $AD$. Площадь треугольника $BFC$: $S_{BFC} = \frac{1}{2} BC \cdot h_2$, где $h_2$ — высота треугольника $BFC$, проведенная из $F$ к $BC$. $h_2$ — это расстояние от $F$ до $BC$. Так как $AD \parallel BC$, то $h_1 + h_2 = h$ (высота параллелограмма). Также, поскольку $ABCD$ — параллелограмм, $AD = BC$. Тогда сумма площадей треугольников $AFD$ и $BFC$: $$S_{AFD} + S_{BFC} = \frac{1}{2} AD \cdot h_1 + \frac{1}{2} BC \cdot h_2$$ Поскольку $AD = BC$, вынесем $AD$ за скобки: $$S_{AFD} + S_{BFC} = \frac{1}{2} AD (h_1 + h_2)$$ Так как $h_1 + h_2 = h$ (высота параллелограмма): $$S_{AFD} + S_{BFC} = \frac{1}{2} AD \cdot h$$ Мы знаем, что площадь параллелограмма $S_{ABCD} = AD \cdot h$. Значит, $$S_{AFD} + S_{BFC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$ Что и требовалось доказать. **Доказано.** 6. На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $AD$ в точке $M$, $AD=81$, $MD=9$, $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите $AH$. Обозначим центр полуокружности как $O$, он лежит на $BC$. Радиус полуокружности $R = OB = OC = \frac{BC}{2}$. Поскольку $BC$ — диаметр, то любой угол, опирающийся на $BC$ и лежащий на полуокружности, равен 90 градусов. Но точка $M$ лежит на высоте $AD$, а не на окружности, это не совсем верно. Полуокружность построена на $BC$ как на диаметре. Точка $M$ лежит на этой полуокружности и на высоте $AD$. Это означает, что $\angle BMC = 90^\circ$. В треугольнике $ADC$, $AD$ — высота, $AD \perp BC$. Это не так, $AD$ — высота к $BC$, поэтому $D$ лежит на $BC$. Если $M$ лежит на $AD$, и $\angle BMC = 90^\circ$, это значит, что $M$ находится на окружности с диаметром $BC$. Дано: $AD=81$, $MD=9$. Точка $M$ лежит на высоте $AD$. $AD$ — это высота из $A$ к $BC$. Значит $D$ лежит на $BC$. $AM = AD - MD = 81 - 9 = 72$. Треугольник $BDC$ не обязательно прямоугольный. $\angle BMC = 90^\circ$ означает, что $BM \perp MC$. Давайте перечитаем внимательно: