Решите уравнение $\frac{1}{(x-3)^2} + \frac{3}{x-3} - 4 = 0$

1. Решим уравнение: $$\frac{1}{(x-3)^2} + \frac{3}{x-3} - 4 = 0$$ Введем замену $y = \frac{1}{x-3}$. Тогда уравнение примет вид: $$y^2 + 3y - 4 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ Вернемся к замене: Случай 1: $y_1 = 1$ $$\frac{1}{x-3} = 1$$ $$1 = x-3$$ $$x = 4$$ Случай 2: $y_2 = -4$ $$\frac{1}{x-3} = -4$$ $$1 = -4(x-3)$$ $$1 = -4x + 12$$ $$4x = 11$$ $$x = \frac{11}{4} = 2,75$$ ОДЗ: $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. Оба найденных корня удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $x_1 = 4$, $x_2 = 2,75$**