Решите уравнение (x^2-1)^2 + (2x^2+3x-5)^2 = 0

**Задание 20.** **Ответ: $x_1 = 1$; $x_2 = -3$.** Решение: $$(x^2 - 1)^2 + (2x^2 + 3x - 5)^2 = 0$$ Сумма квадратов двух выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю одновременно: $$\begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ 2x^2 + 3x - 5 = 0 \end{cases}$$ 1) Из первого уравнения: $x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$ или $x = -1$. 2) Проверим эти корни во втором уравнении: - При $x = 1$: $2(1)^2 + 3(1) - 5 = 2 + 3 - 5 = 0$ (подходит). - При $x = -1$: $2(-1)^2 + 3(-1) - 5 = 2 - 3 - 5 = -6 \neq 0$ (не подходит). **Задание 21.** **Ответ: 400 метров.** Решение: 1) Скорость поезда относительно пешехода при движении в одном направлении: $v_{отн} = 86 - 6 = 80$ км/ч. 2) Переведем скорость в м/с: $80 \text{ км/ч} = \frac{80 \cdot 1000}{3600} = \frac{800}{36} = \frac{200}{9}$ м/с. 3) Длина поезда $L = v_{отн} \cdot t$: $L = \frac{200}{9} \cdot 18 = 200 \cdot 2 = 400$ м. **Задание 22.** **Ответ: $m = -6,25$ и $m = 0$.** Решение: Раскроем модули в функции $y = x|x| + 2|x| - 5x$: 1) Если $x \geq 0$: $y = x^2 + 2x - 5x = x^2 - 3x$. 2) Если $x < 0$: $y = -x^2 - 2x - 5x = -x^2 - 7x$. Построим график. Прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки, когда она проходит через вершину одной из парабол или через точку склейки (начало координат). - Вершина 1: $x_0 = -\frac{-3}{2} = 1,5$; $y_0 = 1,5^2 - 3 \cdot 1,5 = 2,25 - 4,5 = -2,25$ (не подходит, так как в этой области ветви уходят вверх и будет 3 точки). - Вершина 2: $x_0 = -\frac{-7}{2(-1)} = -3,5$; $y_0 = -(-3,5)^2 - 7(-3,5) = -12,25 + 24,5 = 12,25$ (не подходит). Пересчитаем: Прямая имеет 2 точки в вершине левой параболы $y = -6,25$ (при $x=2,5$ для правой части) и $y=0$. :::div .chart-container @chart-1::: **Задание 23.** **Ответ: 10.** Решение: В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ высота $BH$, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника, причем $\triangle ABH \sim \triangle ABC$ (по двум углам). Из подобия: $\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AB} \Rightarrow AB^2 = AC \cdot AH$. $AB^2 = 20 \cdot 5 = 100$. $AB = \sqrt{100} = 10$.