Решите уравнение $(x^2-49)^2 \cdot (x^2+6x-7)^2 = 0$.

**1. Решите уравнение $(x^2-49)^2 \cdot (x^2+6x-7)^2 = 0$.** Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. $$(x^2-49)^2 = 0 \quad \text{или} \quad (x^2+6x-7)^2 = 0$$ Разберем первое уравнение: $$x^2-49 = 0$$ $$x^2 = 49$$ $$x = \pm \sqrt{49}$$ $$x_1 = 7, \quad x_2 = -7$$ Разберем второе уравнение: $$x^2+6x-7 = 0$$ Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$ Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{-6 \pm 8}{2}$$ $$x_3 = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_4 = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$ Все корни уравнения: $7, -7, 1$. **Ответ:** $-7; 1; 7$ **2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении по платформе со скоростью 3 км/ч, за 8 секунд. Найдите длину поезда в метрах.** Скорость поезда относительно пешехода, когда они движутся в одном направлении, равна разности их скоростей: $$V_{\text{отн}} = V_{\text{поезда}} - V_{\text{пешехода}}$$ $$V_{\text{отн}} = 93 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 90 \text{ км/ч}$$ Переведем скорость из км/ч в м/с: $$90 \text{ км/ч} = 90 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 90 \cdot \frac{10}{36} \text{ м/с} = \frac{900}{36} \text{ м/с} = 25 \text{ м/с}$$ Время движения $t = 8$ секунд. Длина поезда $L = V_{\text{отн}} \cdot t$: $$L = 25 \text{ м/с} \cdot 8 \text{ с} = 200 \text{ м}$$ **Ответ:** $200$ **3. Постройте график функции $y = x|x| + |x| - 5x$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две точки.** Разобьём функцию на два случая в зависимости от знака $x$: Случай 1: $x \ge 0$ $$y = x \cdot x + x - 5x = x^2 - 4x$$ Это парабола с вершиной в точке $x_в = -\frac{-4}{2\cdot1} = 2$, $y_в = 2^2 - 4\cdot2 = 4 - 8 = -4$. Значит, вершина $(2, -4)$. Случай 2: $x < 0$ $$y = x \cdot (-x) - x - 5x = -x^2 - 6x$$ Это парабола с вершиной в точке $x_в = -\frac{-6}{2\cdot(-1)} = -3$, $y_в = -(-3)^2 - 6\cdot(-3) = -9 + 18 = 9$. Значит, вершина $(-3, 9)$. Найдем значения функции в точке $x=0$ (для построения): При $x=0$, $y = 0 \cdot 0 + 0 - 5 \cdot 0 = 0$. Точка $(0,0)$. График состоит из двух частей парабол: 1. При $x \ge 0$: часть параболы $y = x^2 - 4x$ с вершиной $(2, -4)$, проходящая через $(0,0)$. 2. При $x < 0$: часть параболы $y = -x^2 - 6x$ с вершиной $(-3, 9)$, проходящая через $(0,0)$. Прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две точки в следующих случаях: 1. Когда она проходит через вершину левой части параболы $y=9$, т.е. $m=9$. 2. Когда она проходит через вершину правой части параболы $y=-4$, т.е. $m=-4$. 3. Когда она находится ниже $y=0$ и выше $y=-4$, т.е. $-4 < m < 0$. 4. Когда она находится выше $y=0$ и ниже $y=9$, т.е. $0 < m < 9$. При $m=0$, прямая $y=0$ пересекает график в одной точке $(0,0)$ и в двух других точках $x^2-4x=0 \Rightarrow x(x-4)=0 \Rightarrow x=4$ (для $x\ge0$) и $-x^2-6x=0 \Rightarrow -x(x+6)=0 \Rightarrow x=-6$ (для $x<0$). То есть 3 точки. Проверим еще раз: * Если $m < -4$, то 0 точек. * Если $m = -4$, то 2 точки (вершина $(2, -4)$ и точка на левой ветви). * Если $-4 < m < 0$, то 4 точки. * Если $m = 0$, то 3 точки ($x=0, x=4, x=-6$). * Если $0 < m < 9$, то 2 точки. * Если $m = 9$, то 2 точки (вершина $(-3, 9)$ и точка на правой ветви). * Если $m > 9$, то 0 точек. Я немного ошибся в анализе количества точек пересечения, давай исправим. Построим график, чтобы наглядно увидеть: При $x \ge 0$: $y = x^2 - 4x$. Корень $x=0, x=4$. Вершина $(2, -4)$. При $x < 0$: $y = -x^2 - 6x$. Корень $x=0, x=-6$. Вершина $(-3, 9)$. Теперь рассмотрим горизонтальные прямые $y=m$: * Если $m < -4$: 0 пересечений. * Если $m = -4$: 2 пересечения (точка $(2, -4)$ и одна точка при $x < 0$). * Если $-4 < m < 0$: 4 пересечения. * Если $m = 0$: 3 пересечения (точки $(-6,0)$, $(0,0)$, $(4,0)$). * Если $0 < m < 9$: 2 пересечения (одна точка при $x>0$ и одна точка при $x<0$). * Если $m = 9$: 2 пересечения (точка $(-3,9)$ и одна точка при $x > 0$). * Если $m > 9$: 0 пересечений. Значит, прямая $y=m$ имеет ровно две точки пересечения при $m=-4$ и при $0 < m \le 9$. :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ:** $m=-4; 0 < m \le 9$ **4. Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC$. Найдите $AB$, если $AH = 10$, $AC = 40$.** В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $B = 90^\circ$) высота $BH$ проведена к гипотенузе $AC$. Известно свойство прямоугольного треугольника: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета $AB$: $AB^2 = AC \cdot AH$. Подставляем известные значения: $$AB^2 = 40 \cdot 10$$ $$AB^2 = 400$$ $$AB = \sqrt{400}$$ $$AB = 20$$ **Ответ:** $20$ **5. Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AD$ и $BC$ четырёхугольника пересекаются в точке $K$. Докажите, что треугольники $KAB$ и $KCD$ подобны.** Дано: Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Продолжения сторон $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $K$. Нужно доказать: $\triangle KAB \sim \triangle KCD$. **Доказательство:** 1. Поскольку четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Значит, $\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ$ и $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$. 2. Угол $\angle BCD$ и угол $\angle KCD$ являются смежными, поэтому $\angle BCD + \angle KCD = 180^\circ$. 3. Сравнивая равенства из пунктов 1 и 2, получаем: $\angle DAB = \angle KCD$. (Это внешний угол циклического четырёхугольника равен внутреннему противоположному). 4. Угол $\angle K$ является общим для обоих треугольников $KAB$ и $KCD$. 5. Так как два угла одного треугольника ($\angle K$ и $\angle DAB$) равны двум углам другого треугольника ($\angle K$ и $\angle KCD$), то треугольники $KAB$ и $KCD$ подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам). Что и требовалось доказать. **6. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 9, а средняя линия равна 10.** Пусть диагонали трапеции $d_1 = 17$ и $d_2 = 9$. Средняя линия $m = 10$. Для трапеции со средней линией $m = \frac{a+b}{2}$, где $a$ и $b$ - основания. Из этого следует $a+b = 2m = 2 \cdot 10 = 20$. Существует формула для площади трапеции $S$ через диагонали $d_1, d_2$ и угол $\alpha$ между ними: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$. Но угол между диагоналями нам неизвестен. Воспользуемся другим свойством. Если через одну из вершин трапеции провести прямую, параллельную одной из диагоналей до пересечения с продолжением основания, то получится треугольник, площадь которого равна площади трапеции. Пусть у нас трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагонали $AC=d_1=17$ и $BD=d_2=9$. Проведем через вершину $C$ прямую $CE$ параллельно $BD$ до пересечения с продолжением $AD$ в точке $E$. Тогда $BCED$ - параллелограмм, $BC = DE$ и $BD = CE = 9$. Треугольник $ACE$ имеет стороны $AC=17$, $CE=9$ и $AE = AD + DE = AD + BC = a+b = 20$. Площадь трапеции $S_{ABCD}$ равна площади треугольника $ACE$, так как $S_{BCD} = S_{BCE}$ (они имеют одинаковое основание $BC$ и высоту). Для треугольника $ACE$ со сторонами $17, 9, 20$ найдем площадь по формуле Герона. Полупериметр $p = \frac{17+9+20}{2} = \frac{46}{2} = 23$. Площадь $S_{ACE} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$: $$S_{ACE} = \sqrt{23(23-17)(23-9)(23-20)}$$ $$S_{ACE} = \sqrt{23 \cdot 6 \cdot 14 \cdot 3}$$ $$S_{ACE} = \sqrt{23 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 3}$$ $$S_{ACE} = \sqrt{23 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7}$$ $$S_{ACE} = 2 \cdot 3 \sqrt{23 \cdot 7}$$ $$S_{ACE} = 6 \sqrt{161}$$ **Ответ:** $6\sqrt{161}$