12. На окружности отмечена точка C. Отрезок AB – диаметр окружности, AC = 28, BC = 45. Найдите радиус окружности.

12. На окружности отмечена точка C. Отрезок AB – диаметр окружности, $AC=28$, $BC=45$. Найдите радиус окружности. Поскольку отрезок AB является диаметром окружности, а точка C лежит на окружности, то угол ACB, опирающийся на диаметр, равен 90 градусам. Значит, треугольник ABC является прямоугольным. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$AB^2 = 28^2 + 45^2$$ $$AB^2 = 784 + 2025$$ $$AB^2 = 2809$$ $$AB = \sqrt{2809}$$ $$AB = 53$$ Диаметр окружности $AB = 53$. Радиус окружности равен половине диаметра: $$R = \frac{AB}{2} = \frac{53}{2} = 26.5$$ **Ответ: 26.5** 13. Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 4, а высота этой призмы равна $5\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$. Объём призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, $h$ — высота призмы. В основании лежит правильный треугольник со стороной $a=4$. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: $$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$S_{осн} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$$ Высота призмы $h = 5\sqrt{3}$. Теперь найдём объём: $$V = S_{осн} \cdot h = 4\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = 4 \cdot 5 \cdot (\sqrt{3})^2 = 20 \cdot 3 = 60$$ **Ответ: 60** 14. Найдите значение выражения $\frac{44}{45} : \left(\frac{1}{9} - \frac{5}{12}\right)$. Сначала выполним действие в скобках: $$\frac{1}{9} - \frac{5}{12}$$ Приводим к общему знаменателю (наименьшее общее кратное для 9 и 12 — это 36): $$\frac{1 \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{4}{36} - \frac{15}{36} = \frac{4 - 15}{36} = \frac{-11}{36}$$ Теперь выполним деление: $$\frac{44}{45} : \left(\frac{-11}{36}\right) = \frac{44}{45} \cdot \left(-\frac{36}{11}\right)$$ Сокращаем 44 и 11, а также 36 и 45: $$\frac{44}{11} = 4$$ и $$\frac{36}{9} = 4$$ (45 делится на 9) $$\frac{44}{45} \cdot \left(-\frac{36}{11}\right) = \frac{4 \cdot (4 \cdot 9)}{5 \cdot 9} \cdot \left(-\frac{1}{1}\right) = \frac{4 \cdot 4}{5} \cdot (-1) = \frac{16}{5} \cdot (-1) = -\frac{16}{5} = -3.2$$ **Ответ: -3.2** 15. В августе 1 кг помидоров стоил 120 рублей, в сентябре помидоры подорожали на 10 %, а в октябре — ещё на 15 %. Сколько рублей стал стоить 1 кг помидоров после подорожания в октябре? Изначальная цена в августе: 120 рублей. Подорожание в сентябре на 10 %: Новая цена = $120 + 120 \cdot 0.10 = 120 + 12 = 132$ рубля. Подорожание в октябре на 15 % от цены в сентябре: Новая цена = $132 + 132 \cdot 0.15$ $132 \cdot 0.15 = 132 \cdot \frac{15}{100} = 132 \cdot \frac{3}{20} = \frac{396}{20} = 19.8$ Новая цена в октябре = $132 + 19.8 = 151.8$ рубля. **Ответ: 151.8** 16. Найдите значение выражения $\log_2 320 - \log_2 5$. Используем свойство логарифмов: $\log_b M - \log_b N = \log_b \left(\frac{M}{N}\right)$. $$\log_2 320 - \log_2 5 = \log_2 \left(\frac{320}{5}\right)$$ $$\log_2 \left(\frac{320}{5}\right) = \log_2 64$$ Так как $2^6 = 64$, то $\log_2 64 = 6$. **Ответ: 6** 17. Решите уравнение $x^2 - 144 = 0$. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе укажите больший. Перенесём 144 в правую часть: $$x^2 = 144$$ Извлечём квадратный корень из обеих частей. Помни, что квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным: $$x = \pm\sqrt{144}$$ $$x_1 = 12$$ $$x_2 = -12$$ Уравнение имеет два корня: 12 и -12. Больший корень — это 12. **Ответ: 12**