11. Несколько ступеней лестницы покрасили в темный цвет... Найдите площадь окрашенной поверхности. 12. На окружности отмечена точка C. Отрезок AB — диаметр окружности, AC = 24, BC = 45. Найдите радиус окружности. 13. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 5, а высота этой призмы равна 2 корня из 3. Найдите объем призмы.

**Задание 11** Ответ: 18900 Решение: 1. Площадь окрашенной поверхности одной ступени состоит из площади горизонтальной части (проступи) и вертикальной части (подступенка). 2. Площадь горизонтальной части: $35 \cdot 60 = 2100 \text{ см}^2$. 3. Площадь вертикальной части: $20 \cdot 60 = 1200 \text{ см}^2$. 4. Общая площадь одной ступени: $2100 + 1200 = 3300 \text{ см}^2$. 5. По рисунку считаем количество ступеней: их 6 (хотя на схеме может показаться иначе, обычно считают по количеству подъёмов или проступей, здесь 6 полных ступеней с двумя поверхностями у каждой). 6. Но если рассматривать заштрихованную область как единое полотно, то общая площадь равна сумме площадей всех ступеней. 7. На рисунке 6 ступеней. Суммарная площадь: $6 \cdot 3300 = 19800 \text{ см}^2$. Однако, если считать только заштрихованные грани (5 подступенков и 6 проступей), результат изменится. Пересчитаем по рисунку: заштриховано 6 горизонтальных и 5 вертикальных площадок. $6 \cdot 2100 + 5 \cdot 1200 = 12600 + 6000 = 18600 \text{ см}^2$. **Допущение**: На рисунке 6 ступеней, считаем сумму площадей всех горизонтальных и вертикальных граней (всего 6 пар). $6 \cdot (35 \cdot 60 + 20 \cdot 60) = 6 \cdot 3300 = 19800$. **Задание 12** Ответ: 25,5 Решение: 1. Так как $AB$ — диаметр, то вписанный угол $\angle ACB$, опирающийся на него, равен $90^\circ$. Значит, треугольник $ABC$ — прямоугольный. 2. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$: $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 24^2 + 45^2 = 576 + 2025 = 2601$ $AB = \sqrt{2601} = 51$ 3. Радиус окружности $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{AB}{2} = \frac{51}{2} = 25,5$ **Задание 13** Ответ: $37,5\sqrt{3}$ (или $\approx 64,95$) Решение: 1. Площадь основания $S_{осн}$ правильной треугольной призмы (равносторонний треугольник со стороной $a=5$): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} = 6,25\sqrt{3}$ 2. Объем призмы $V$ равен произведению площади основания на высоту $h=2\sqrt{3}$: $V = S_{осн} \cdot h = 6,25\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 12,5 \cdot 3 = 37,5$