Найдите длину отрезка AH

**12. Найдите длину отрезка AH.** Дано: В треугольнике $ABC$ $AC = 26$ $BM$ — медиана $BH$ — высота $BC = BM$ 1. Так как $BM$ — медиана, она делит сторону $AC$ пополам. Значит, $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{26}{2} = 13$. 2. Рассмотрим треугольник $BMC$. Так как $BC = BM$, этот треугольник равнобедренный. 3. В равнобедренном треугольнике $BMC$ высота $BH$ к основанию $MC$ является также медианой. Значит, $MH = HC$. 4. $MH = HC = \frac{MC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$. 5. Теперь найдем длину отрезка $AH$. $AH = AM + MH = 13 + 6.5 = 19.5$. **Ответ: 19.5** **13. Во сколько раз объем первого конуса больше объема второго?** Дано: Конус 1: $R_1 = 4$, $H_1 = 3$ Конус 2: $R_2 = 2$, $H_2 = 6$ Формула объема конуса: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$ 1. Найдем объем первого конуса: $$V_1 = \frac{1}{3} \pi R_1^2 H_1 = \frac{1}{3} \pi (4^2) \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 3 = 16 \pi$$ 2. Найдем объем второго конуса: $$V_2 = \frac{1}{3} \pi R_2^2 H_2 = \frac{1}{3} \pi (2^2) \cdot 6 = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 6 = 8 \pi$$ 3. Найдем, во сколько раз объем первого конуса больше объема второго: $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{16 \pi}{8 \pi} = 2$$ **Ответ: 2** **14. Найдите значение выражения $\frac{5}{4} \cdot \frac{10}{3} : \frac{31}{40}$.** 1. Сначала выполним умножение: $$\frac{5}{4} \cdot \frac{10}{3} = \frac{5 \cdot 10}{4 \cdot 3} = \frac{50}{12} = \frac{25}{6}$$ 2. Теперь выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь: $$\frac{25}{6} : \frac{31}{40} = \frac{25}{6} \cdot \frac{40}{31}$$ 3. Умножим дроби: $$\frac{25 \cdot 40}{6 \cdot 31} = \frac{1000}{186}$$ 4. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $$\frac{1000}{186} = \frac{500}{93}$$ **Ответ: $\frac{500}{93}$** **15. Сколько в этой школе девочек, если мальчиков на 50 человек меньше, чем девочек?** 1. Пусть $X$ — общее число учащихся в школе. 2. Мальчики составляют 48% от общего числа учащихся. Количество мальчиков = $0.48X$. 3. Девочки составляют $100\% - 48\% = 52\%$ от общего числа учащихся. Количество девочек = $0.52X$. 4. По условию, мальчиков на 50 человек меньше, чем девочек. Запишем это как уравнение: $0.52X - 0.48X = 50$ 5. Упростим уравнение: $0.04X = 50$ 6. Найдем $X$ (общее число учащихся): $X = \frac{50}{0.04} = \frac{5000}{4} = 1250$ человек. 7. Найдем количество девочек: Количество девочек = $0.52X = 0.52 \cdot 1250 = 650$ человек. **Ответ: 650** **16. Найдите значение выражения $\frac{6^2 \cdot 6^4}{6^1}$.** Воспользуемся свойствами степеней: 1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ 2. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ Применим эти свойства: $$\frac{6^2 \cdot 6^4}{6^1} = \frac{6^{2+4}}{6^1} = \frac{6^6}{6^1} = 6^{6-1} = 6^5$$ Вычислим $6^5$: $$6^5 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 36 \cdot 6 = 1296 \cdot 6 = 7776$$ **Ответ: 7776** **17. Найдите корень уравнения $\frac{1}{\sqrt{x}+4} = \frac{1}{7}$.** 1. У нас есть равенство двух дробей. Если числители равны, то и знаменатели должны быть равны: $$\sqrt{x} + 4 = 7$$ 2. Вычтем 4 из обеих частей уравнения: $$\sqrt{x} = 7 - 4$$ $$\sqrt{x} = 3$$ 3. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: $$(\sqrt{x})^2 = 3^2$$ $$x = 9$$ 4. Проверим решение, подставив $x=9$ в исходное уравнение: $$\frac{1}{\sqrt{9}+4} = \frac{1}{3+4} = \frac{1}{7}$$ Левая часть равна правой, значит, решение верное. **Ответ: 9**