1. На окружности отмечена точка C. Отрезок AB — диаметр окружности. AC = 24, BC = 45. Найдите радиус окружности.

1. На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности. $AC = 24$, $BC = 45$. Найдите радиус окружности. Поскольку $AB$ — диаметр окружности, а точка $C$ лежит на окружности, то угол $ACB$ является вписанным углом, опирающимся на диаметр. Следовательно, угол $ACB = 90^\[circ\]$, и треугольник $ABC$ — прямоугольный. По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$AB^2 = 24^2 + 45^2$$ $$AB^2 = 576 + 2025$$ $$AB^2 = 2601$$ $$AB = \sqrt{2601}$$ $$AB = 51$$ Радиус окружности $R$ равен половине диаметра $AB$: $$R = \frac{AB}{2} = \frac{51}{2} = 25,5$$ **Ответ: 25,5** 2. Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $5$, а высота этой призмы равна $2\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$. Объём призмы вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы. Основание призмы — правильный треугольник со стороной $a = 5$. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле: $$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$S_{осн} = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$$ Высота призмы $h = 2\sqrt{3}$. Теперь найдём объём призмы: $$V = S_{осн} \cdot h = \frac{25\sqrt{3}}{4} \cdot 2\sqrt{3}$$ $$V = \frac{25 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{4}$$ $$V = \frac{25 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2}{4}$$ $$V = \frac{25 \cdot 2 \cdot 3}{4}$$ $$V = \frac{150}{4}$$ $$V = 37,5$$ **Ответ: 37,5** 3. Найдите значение выражения: $14 \div \left( \frac{5}{8} - \frac{11}{12} \right)$ Сначала выполним вычитание в скобках. Для этого приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $8$ и $12$ — это $24$. $$\frac{5}{8} - \frac{11}{12} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{11 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{15}{24} - \frac{22}{24}$$ Теперь вычтем дроби: $$\frac{15}{24} - \frac{22}{24} = \frac{15 - 22}{24} = \frac{-7}{24}$$ Теперь выполним деление: $$14 \div \left( -\frac{7}{24} \right)$$ Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь: $$14 \cdot \left( -\frac{24}{7} \right)$$ $$= -\frac{14 \cdot 24}{7}$$ Сократим $14$ и $7$: $$= -\frac{2 \cdot 24}{1}$$ $$= -48$$ **Ответ: -48**