12. В трапеции ABCD известно, что AD = 3, BC = 2, а её площадь равна 30. Найдите площадь треугольника ABC.

12. В трапеции $ABCD$ известно, что $AD = 3$, $BC = 2$, а её площадь равна $30$. Найдите площадь треугольника $ABC$. Площадь трапеции $S_{ABCD}$ можно найти по формуле: $$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$$ где $h$ — высота трапеции. Известно, что $S_{ABCD} = 30$, $AD = 3$, $BC = 2$. Подставим эти значения в формулу: $$30 = \frac{3 + 2}{2} \cdot h$$ $$30 = \frac{5}{2} \cdot h$$ $$h = 30 \cdot \frac{2}{5}$$ $$h = \frac{60}{5}$$ $$h = 12$$ Высота трапеции $h$ является также высотой треугольника $ABC$, если за основание взять $BC$. Площадь треугольника $ABC$ ($S_{ABC}$) можно найти по формуле: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h$$ Подставим значения $BC = 2$ и $h = 12$: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 12$$ $$S_{ABC} = 12$$ **Ответ: 12** 13. Объём конуса равен $6\pi$, а радиус его основания равен $1$. Найдите высоту конуса. Объём конуса $V$ вычисляется по формуле: $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$ где $r$ — радиус основания, $h$ — высота конуса. По условию, $V = 6\pi$ и $r = 1$. Подставим эти значения в формулу: $$6\pi = \frac{1}{3} \pi (1)^2 h$$ $$6\pi = \frac{1}{3} \pi h$$ Разделим обе части уравнения на $\pi$: $$6 = \frac{1}{3} h$$ Умножим обе части на 3, чтобы найти $h$: $$h = 6 \cdot 3$$ $$h = 18$$ **Ответ: 18** 14. Найдите значение выражения $\frac{16}{15} : \frac{4}{25} \cdot \frac{9}{5}$. Сначала выполним деление: $$\frac{16}{15} : \frac{4}{25} = \frac{16}{15} \cdot \frac{25}{4}$$ Сократим дроби: $16$ и $4$ сокращаем на $4$, $25$ и $15$ сокращаем на $5$: $$\frac{16 \div 4}{15 \div 5} \cdot \frac{25 \div 5}{4 \div 4} = \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{1} = \frac{20}{3}$$ Теперь умножим полученный результат на $\frac{9}{5}$: $$\frac{20}{3} \cdot \frac{9}{5}$$ Сократим дроби: $20$ и $5$ сокращаем на $5$, $9$ и $3$ сокращаем на $3$: $$\frac{20 \div 5}{3 \div 3} \cdot \frac{9 \div 3}{5 \div 5} = \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{1} = 4 \cdot 3 = 12$$ **Ответ: 12** 15. Для приготовления фарша взяли говядину и свинину в отношении $11:14$. Какой процент в фарше составляет свинина? Пусть количество говядины составляет $11$ частей, а количество свинины — $14$ частей. Общее количество частей в фарше: $$11 + 14 = 25 \text{ частей}$$ Доля свинины в фарше: $$\frac{\text{количество свинины}}{\text{общее количество частей}} = \frac{14}{25}$$ Чтобы выразить эту долю в процентах, умножим её на $100\%$: $$\frac{14}{25} \cdot 100\%$$ $$\frac{14 \cdot 100}{25}\%$$ $$\frac{14 \cdot 4}{1}\%$$ $$56\%$$ **Ответ: 56%**