На окружности радиуса 3 взята точка C. Отрезок AB — диаметр окружности, AC = 4√2. Найдите BC.

12. На окружности радиуса 3 взята точка C. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 4\sqrt{2}$. Найдите $BC$. Так как $AB$ — диаметр окружности, а точка $C$ лежит на окружности, то угол $ACB$ прямой (равен 90 градусам). Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с гипотенузой $AB$. Радиус окружности равен 3, значит, диаметр $AB = 2 \cdot 3 = 6$. Используем теорему Пифагора для треугольника $ABC$: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. $(4\sqrt{2})^2 + BC^2 = 6^2$ $16 \cdot 2 + BC^2 = 36$ $32 + BC^2 = 36$ $BC^2 = 36 - 32$ $BC^2 = 4$ $BC = \sqrt{4}$ $BC = 2$ **Ответ: 2** 13. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно $\sqrt{41}$. Объем пирамиды находится по формуле: $$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$$ Основание пирамиды — квадрат со стороной 8. Площадь основания $S_{осн} = 8^2 = 64$. Для нахождения высоты $h$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной диагонали основания. Диагональ основания $d$ квадрата со стороной 8: $d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Половина диагонали основания $d/2 = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$. Теперь по теореме Пифагора найдем высоту $h$: $h^2 + (d/2)^2 = (боковое\ ребро)^2$. $h^2 + (4\sqrt{2})^2 = (\sqrt{41})^2$ $h^2 + 16 \cdot 2 = 41$ $h^2 + 32 = 41$ $h^2 = 41 - 32$ $h^2 = 9$ $h = \sqrt{9}$ $h = 3$ Теперь можем найти объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 3 = 64$ **Ответ: 64** 14. Найдите значение выражения $\frac{14}{9} \cdot \frac{3}{2} : \frac{7}{6}$. Сначала умножим первые две дроби: $\frac{14}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{7}{3}$ Теперь разделим полученный результат на $\frac{7}{6}$. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь: $\frac{7}{3} : \frac{7}{6} = \frac{7}{3} \cdot \frac{6}{7} = \frac{7 \cdot 6}{3 \cdot 7} = \frac{6}{3} = 2$ **Ответ: 2** 15. Товар на распродаже уценили на 50%, при этом он стал стоить 570 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи? Если товар уценили на 50%, это значит, что его новая цена составляет 100% - 50% = 50% от первоначальной цены. 50% от первоначальной цены — это 570 рублей. Чтобы найти первоначальную цену (100%), нужно 570 рублей разделить на 50%, а затем умножить на 100%: $Цена_{до} = \frac{570}{50} \cdot 100 = 11,4 \cdot 100 = 1140$ Или просто умножить 570 на 2, так как 50% — это половина: $Цена_{до} = 570 \cdot 2 = 1140$ **Ответ: 1140**