3.7) (3x)^sin(4x)

Для нахождения производной функции $y = (3x)^{\sin(4x)}$ методом логарифмического дифференцирования выполним следующие шаги: 1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $e$ (натуральный логарифм): $\ln y = \ln((3x)^{\sin(4x)})$ 2. Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln a$, перепишем правую часть: $\ln y = \sin(4x) \cdot \ln(3x)$ 3. Дифференцируем обе части по $x$, учитывая, что $y$ есть функция от $x$. Слева используем правило производной сложной функции $(\ln y)' = \frac{1}{y} \cdot y'$, а справа — правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $\frac{y'}{y} = (\sin(4x))' \cdot \ln(3x) + \sin(4x) \cdot (\ln(3x))'$ 4. Вычисляем производные: $(\sin(4x))' = \cos(4x) \cdot 4 = 4\cos(4x)$ $(\ln(3x))' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$ Подставляем: $\frac{y'}{y} = 4\cos(4x) \cdot \ln(3x) + \sin(4x) \cdot \frac{1}{x}$ 5. Выражаем $y'$: $y' = y \cdot \left( 4\cos(4x)\ln(3x) + \frac{\sin(4x)}{x} \right)$ 6. Подставляем исходное выражение для $y$: $y' = (3x)^{\sin(4x)} \cdot \left( 4\cos(4x)\ln(3x) + \frac{\sin(4x)}{x} \right)$ **Ответ:** $y' = (3x)^{\sin(4x)} \left( 4\cos(4x)\ln(3x) + \frac{\sin(4x)}{x} \right)$