а) Решите уравнение sin 2x - √3 sin x = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 5π/2].

**Ответ:** а) $x = \pi k$, $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$, $\frac{11\pi}{6}$, $\frac{13\pi}{6}$. **Решение:** **а) Решим уравнение:** $\sin 2x - \sqrt{3} \sin x = 0$ Используем формулу двойного аргумента $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0$ Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $\sin x (2 \cos x - \sqrt{3}) = 0$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1. $\sin x = 0$ $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2. $2 \cos x - \sqrt{3} = 0$ $2 \cos x = \sqrt{3}$ $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $x = \pm \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **б) Отберем корни на отрезке $[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}]$:** 1. Для $x = \pi k$: - при $k=1$: $x = \pi$ (не входит) - при $k=2$: $x = 2\pi$ (входит: $\frac{3\pi}{2} < 2\pi < \frac{5\pi}{2}$) - при $k=3$: $x = 3\pi$ (не входит) 2. Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$: - при $n=1$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$ (входит: $\frac{9\pi}{6} < \frac{13\pi}{6} < \frac{15\pi}{6}$) 3. Для $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$: - при $n=1$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$ (входит: $\frac{9\pi}{6} < \frac{11\pi}{6} < \frac{15\pi}{6}$)