а) Решите уравнение 6sin^2 x + 15sin(3π/2 + x) - 12 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π; -7π/2]

а) Решим уравнение $6\sin^2 x + 15\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) - 12 = 0$. 1. Используем формулу приведения: $\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x$. 2. Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$ по основному тригонометрическому тождеству: $6(1 - \cos^2 x) - 15\cos x - 12 = 0$ $6 - 6\cos^2 x - 15\cos x - 12 = 0$ $-6\cos^2 x - 15\cos x - 6 = 0$ Разделим на $-3$: $2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0$ 3. Пусть $\cos x = t$, где $|t| \le 1$: $2t^2 + 5t + 2 = 0$ $D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$ $t_1 = \frac{-5 + 3}{4} = -0,5$ $t_2 = \frac{-5 - 3}{4} = -2$ (не подходит, так как $|t| \le 1$) 4. Обратная замена: $\cos x = -\frac{1}{2}$ $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) Найдем корни на отрезке $\left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right]$. $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: При $k = -2$: $x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{10\pi}{3} = -3\frac{1}{3}\pi$ (не входит, так как $-3\frac{1}{3} > -3,5$) При $k = -3$: $x = \frac{2\pi}{3} - 6\pi = -\frac{16\pi}{3} = -5\frac{1}{3}\pi$ (левее отрезка) $x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: При $k = -2$: $x = -\frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{14\pi}{3} = -4\frac{2}{3}\pi$ (входит: $-5 \le -4\frac{2}{3} \le -3,5$) **Ответ: а) $\pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{14\pi}{3}$**