а) Решите уравнение √3 cos 2x = 3 - 3(sin x + cos x)². б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-π, π/2]

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}$. **Решение:** **а) Решим уравнение:** $\sqrt{3} \cos 2x = 3 - 3(\sin x + \cos x)^2$ 1. Раскроем квадрат суммы в правой части: $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$, получаем: $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin 2x$ 2. Подставим это в уравнение: $\sqrt{3} \cos 2x = 3 - 3(1 + \sin 2x)$ $\sqrt{3} \cos 2x = 3 - 3 - 3 \sin 2x$ $\sqrt{3} \cos 2x = -3 \sin 2x$ 3. Разделим обе части на $-3 \cos 2x$ (заметим, что если $\cos 2x = 0$, то и $\sin 2x = 0$, что невозможно одновременно): $\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\text{tg } 2x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ 4. Находим значения $2x$: $2x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ *Примечание: Если рассматривать исходное уравнение как однородное $\sqrt{3} \cos 2x + 3 \sin 2x = 0$, то после деления на $\cos 2x$ получаем $\text{tg } 2x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, что соответствует $-\frac{\pi}{6}$.* **б) Отберем корни на промежутке $[-\pi, \frac{\pi}{2}]$:** Для $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$: 1. При $k = -1$: $x = -\frac{\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12}$ (входит) 2. При $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{12}$ (входит) 3. При $k = 1$: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{6\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$ (входит) 4. При $k = -2$: $x = -\frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{13\pi}{12}$ (не входит, меньше $-\pi$) 5. При $k = 2$: $x = -\frac{\pi}{12} + \pi = \frac{11\pi}{12}$ (не входит, больше $\frac{\pi}{2}$)