а) Решите уравнение cos 2x - 5√2 cos x - 5 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π; -3π/2].

а) **Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$** 1. Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$2\cos^2 x - 1 - 5\sqrt{2}\cos x - 5 = 0$$ $$2\cos^2 x - 5\sqrt{2}\cos x - 6 = 0$$ 2. Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $$2t^2 - 5\sqrt{2}t - 6 = 0$$ 3. Находим дискриминант: $$D = (5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 50 + 48 = 98 = (7\sqrt{2})^2$$ 4. Корни уравнения: $$t_1 = \frac{5\sqrt{2} + 7\sqrt{2}}{4} = \frac{12\sqrt{2}}{4} = 3\sqrt{2} \approx 4,24 \text{ (не подходит, так как } |t| > 1)$$ $$t_2 = \frac{5\sqrt{2} - 7\sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 5. Обратная замена: $$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ б) **Ответ: $-\frac{11\pi}{4}; -\frac{5\pi}{4}$** Отберем корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$: 1. При $n = -1$: $x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$ (входит в отрезок) $x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4}$ (входит в отрезок) 2. При $n = 0$ корни будут положительными и не войдут в отрезок. 3. При $n = -2$ корни будут меньше $-3\pi$.