а) Решите уравнение √2 sin x + sin 2x = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 7π/2].

**Ответ:** а) $x = \pi k$; $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. б) $3\pi$; $\frac{11\pi}{4}$. **Решение:** **а) Решим уравнение:** $\sqrt{2} \sin x + \sin 2x = 0$ Используем формулу двойного аргумента $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $\sqrt{2} \sin x + 2 \sin x \cos x = 0$ Вынесем общий множитель за скобки: $\sin x (\sqrt{2} + 2 \cos x) = 0$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin x = 0$ $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\sqrt{2} + 2 \cos x = 0$ $2 \cos x = -\sqrt{2}$ $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$ $x = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k$ $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ **б) Отберем корни на отрезке $[\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}]$:** 1. Для $x = \pi k$: - При $k=3: x = 3\pi$. Число $3\pi$ входит в отрезок, так как $\frac{5\pi}{2} = 2,5\pi \le 3\pi \le 3,5\pi = \frac{7\pi}{2}$. 2. Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: - При $k=1: x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} = 2,75\pi$. Входит в отрезок. 3. Для $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: - При $k=1: x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} = 1,25\pi$. Не входит. - При $k=2: x = -\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{13\pi}{4} = 3,25\pi$. Входит в отрезок. **Уточнение по отбору:** На указанном промежутке $[2,5\pi; 3,5\pi]$ корнями являются: $x_1 = 3\pi$ $x_2 = \frac{11\pi}{4}$ (или $2,75\pi$) $x_3 = \frac{13\pi}{4}$ (или $3,25\pi$) *Заметим, что корень $x = \frac{13\pi}{4}$ также является верным решением для пункта (б).*