а) Решите уравнение sin 2x = 2 sin^2 (x - 3π/2). б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку [-2π; -π/2].

**Ответ:** а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$. б) $-2\pi; -\frac{5\pi}{4}; -\frac{3\pi}{2}$. **Решение:** а) Решим уравнение $\sin 2x = 2\sin^2\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$. 1. Используем формулу приведения для правой части: $\sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(-\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -(-\cos x) = \cos x$. Тогда $\sin^2\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos^2 x$. 2. Перепишем уравнение: $\sin 2x = 2\cos^2 x$. 3. Применим формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $2\sin x \cos x = 2\cos^2 x$; $2\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$; $2\cos x (\sin x - \cos x) = 0$. 4. Получаем две ситуации: - $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. - $\sin x - \cos x = 0$. Разделим на $\cos x \neq 0$: $\text{tg } x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ (но при $\cos x = 1$ и $\sin x = 1$ корень будет $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, однако в исходном разложении у нас $\sin x = \cos x$, что дает $\text{tg } x = 1$). *Уточнение:* В уравнении $\sin 2x = 2\cos^2 x$, если расписать как $2\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$, то при вынесении $2\cos x(\sin x - \cos x) = 0$ корни: 1) $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; 2) $\sin x = \cos x \Rightarrow \text{tg } x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n$. б) Отбор корней на промежутке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$: 1. Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$: - $k = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2}$ (входит) - $k = -2 \Rightarrow x = -\frac{3\pi}{2}$ (входит) - $k = -3 \Rightarrow x = -\frac{5\pi}{2}$ (не входит) 2. Для $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$: - $n = -1 \Rightarrow x = -\frac{3\pi}{4}$ (не входит, так как $-0,75\pi > -0,5\pi$ — ошибка, $-0,75\pi$ лежит между $-2\pi$ и $-0,5\pi$. Проверим: $-2 \le -0,75 \le -0,5$ — верно). - $n = -2 \Rightarrow x = -\frac{7\pi}{4}$ (входит, так как $-2 \le -1,75 \le -0,5$ — верно). **Исправление:** Корни: $\frac{\pi}{2} + \pi k$ и $\frac{\pi}{4} + \pi n$. Промежуток $\left[-2\pi; -0,5\pi\right]$. Из первой серии: $-1,5\pi$ и $-0,5\pi$. Из второй серии: $-1,75\pi$ (это $-\frac{7\pi}{4}$) и $-0,75\pi$ (это $-\frac{3\pi}{4}$).