а) Решите уравнение 2 cos²(3π/2 + x) + √3 sin x = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

**Ответ:** а) $x = \pi k, \, x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z}$. б) $3\pi, \, 4\pi, \, \frac{19\pi}{6}$. **Решение:** **а)** Решим уравнение: $2 \cos^2 \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) + \sqrt{3} \sin x = 0$. 1. Используем формулу приведения: $\cos \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = \sin x$. Тогда $\cos^2 \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = \sin^2 x$. Уравнение принимает вид: $2 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x = 0$ 2. Разложим на множители, вынеся $\sin x$ за скобки: $\sin x (2 \sin x + \sqrt{3}) = 0$ 3. Перейдем к совокупности уравнений: $\begin{cases} \sin x = 0 \\ 2 \sin x + \sqrt{3} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sin x = 0 \\ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$ 4. Найдем корни: - Из $\sin x = 0$: $x = \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$. - Из $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$. (Или в другом виде: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ не подходит для синуса, правильнее: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$) **б)** Отберем корни на отрезке $\left[ \frac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$. 1. Для $x = \pi k$: - При $k=3$: $x = 3\pi$ — входит в отрезок. - При $k=4$: $x = 4\pi$ — входит в отрезок. 2. Для $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$: - При $k=2$: $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$. Т.к. $3{,}5\pi < 3{,}66\pi < 4\pi$, корень $\frac{11\pi}{3}$ входит в отрезок. 3. Для $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: - При $k=2$: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$. Т.к. $3{,}33\pi > 2{,}5\pi$, корень $\frac{10\pi}{3}$ входит в отрезок. Уточним корни для $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на круге: это точки $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$. На заданном отрезке: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3} \approx 3{,}33\pi$ (подходит) $\frac{5\pi}{3} + 2\pi = \frac{11\pi}{3} \approx 3{,}66\pi$ (подходит)