Найдите площадь треугольника CDB, если прямая AB перпендикулярна плоскости α, AC = 13, AD = 12, BD = 7, ∠CDB = 90°.

Фотография

Ответ ассистента

Прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Это значит, что $AB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$. Следовательно, треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. 1. Найдем длину отрезка $AB$ из прямоугольного треугольника $ABD$. Применим теорему Пифагора: $$AD^2 = AB^2 + BD^2$$ $$12^2 = AB^2 + 7^2$$ $$144 = AB^2 + 49$$ $$AB^2 = 144 - 49$$ $$AB^2 = 95$$ $$AB = \sqrt{95}$$ 2. Теперь рассмотрим треугольник $CDB$. Нам дано, что $\angle CDB = 90^\circ$, значит, треугольник $CDB$ — прямоугольный. Для вычисления его площади нам нужны длины катетов $CD$ и $BD$. Длину $BD$ мы знаем ($BD=7$). Найдем $CD$. В условии есть $AC=13$. Так как $AB \perp \alpha$, то $AB \perp BC$. Тогда треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Из прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора: $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ $$13^2 = (\sqrt{95})^2 + BC^2$$ $$169 = 95 + BC^2$$ $$BC^2 = 169 - 95$$ $$BC^2 = 74$$ $$BC = \sqrt{74}$$ 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDB$. Мы уже знаем $BD=7$. А $BC = \sqrt{74}$. По теореме Пифагора для треугольника $CDB$: $$BC^2 = CD^2 + BD^2$$ $$(\sqrt{74})^2 = CD^2 + 7^2$$ $$74 = CD^2 + 49$$ $$CD^2 = 74 - 49$$ $$CD^2 = 25$$ $$CD = \sqrt{25}$$ $$CD = 5$$ 4. Теперь, когда мы знаем длины катетов $CD=5$ и $BD=7$ в прямоугольном треугольнике $CDB$, мы можем найти его площадь по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot BD$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7$$ $$S = \frac{35}{2}$$ $$S = 17,5$$ **Ответ:** $17,5$

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Найдите площадь треугольника CDB, если прямая AB перпендикулярна плоскости α, AC = 13, AD = 12, BD = 7, ∠CDB = 90°.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения