Через вершину C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если CA=3 дм, CB=2 дм, CD=1 дм.

**Ответ: 3,5 дм²** 1. Так как $\triangle ABC$ прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$), найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{CA^2 + CB^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\text{ дм}$$ 2. Найдём высоту $CH$, проведённую из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$. Площадь $\triangle ABC$ можно выразить двумя способами: $S = \frac{1}{2} CA \cdot CB$ и $S = \frac{1}{2} AB \cdot CH$: $$3 \cdot 2 = \sqrt{13} \cdot CH \implies CH = \frac{6}{\sqrt{13}}\text{ дм}$$ 3. Рассмотрим $\triangle DCH$. Так как $CD \perp (ABC)$, то $CD \perp CH$. По теореме о трёх перпендикулярах, так как $CH \perp AB$, то наклонная $DH \perp AB$. Следовательно, $DH$ — высота $\triangle ABD$. Найдём $DH$ из прямоугольного $\triangle DCH$: $$DH = \sqrt{CD^2 + CH^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{36}{13}} = \sqrt{\frac{13 + 36}{13}} = \sqrt{\frac{49}{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}}\text{ дм}$$ 4. Найдём площадь $\triangle ABD$: $$S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{7}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2} = 3,5\text{ дм}^2$$