Через вершину С прямого угла прямоугольного треугольника АВС проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если CA = 3 дм, CB = 2 дм, CD = 1 дм.

Фотография

Ответ ассистента

**Ответ: 3,5 дм²** 1. Найдём площадь треугольника $ABC$: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3 \text{ дм}^2$$ 2. Найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{CA^2 + CB^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \text{ дм}$$ 3. Проведём высоту $CH$ треугольника $ABC$ к стороне $AB$. Её длину найдём через площадь: $$CH = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{AB} = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} \text{ дм}$$ 4. По теореме о трёх перпендикулярах отрезок $DH$ перпендикулярен $AB$, значит $DH$ — высота треугольника $ABD$. Найдём $DH$ из прямоугольного треугольника $DCH$ ($CD \perp CH$, так как $CD$ перпендикулярна плоскости треугольника): $$DH = \sqrt{CD^2 + CH^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{36}{13}} = \sqrt{\frac{49}{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}} \text{ дм}$$ 5. Вычислим площадь треугольника $ABD$: $$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{7}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2} = 3,5 \text{ дм}^2$$

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения