Через вершину C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если CA=3 дм, CB=2 дм, CD=1 дм.

**Ответ: $3,5\text{ дм}^2$** **Решение:** 1. Найдём гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{CA^2 + CB^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\text{ дм}$$ 2. Найдём высоту $CH$, проведённую из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Площадь $\triangle ABC$ можно выразить двумя способами: $\frac{1}{2} CA \cdot CB$ и $\frac{1}{2} AB \cdot CH$. Отсюда: $$CH = \frac{CA \cdot CB}{AB} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}\text{ дм}$$ 3. Так как $CD \perp (ABC)$, то по теореме о трёх перпендикулярах отрезок $DH$ будет высотой треугольника $ABD$ ($DH \perp AB$). 4. Из прямоугольного треугольника $DCH$ (где $\angle DCH = 90^\circ$) найдём гипотенузу $DH$ по теореме Пифагора: $$DH = \sqrt{CD^2 + CH^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{36}{13}} = \sqrt{\frac{13 + 36}{13}} = \sqrt{\frac{49}{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}}\text{ дм}$$ 5. Вычислим площадь треугольника $ABD$: $$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{7}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2} = 3,5\text{ дм}^2$$