Найдите площадь треугольника CDB, если прямая AB перпендикулярна плоскости α, AC = 13, AD = 12, BD = 7, ∠CDB = 90°.

Question

Вопрос:

Найдите площадь треугольника CDB, если прямая AB перпендикулярна плоскости α, AC = 13, AD = 12, BD = 7, ∠CDB = 90°.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Сначала найдём сторону $AB$. Так как прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, то $AB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B$. Значит, треугольник $ABD$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. Также треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. В $\triangle ABD$ по теореме Пифагора: $AB^2 + BD^2 = AD^2$ $AB^2 + 7^2 = 12^2$ $AB^2 + 49 = 144$ $AB^2 = 144 - 49$ $AB^2 = 95$ $AB = \sqrt{95}$ 2. Теперь найдём сторону $CB$. В $\triangle ABC$ по теореме Пифагора: $AB^2 + CB^2 = AC^2$ $(\sqrt{95})^2 + CB^2 = 13^2$ $95 + CB^2 = 169$ $CB^2 = 169 - 95$ $CB^2 = 74$ $CB = \sqrt{74}$ 3. Теперь найдём площадь треугольника $CDB$. Нам дано, что $\angle CDB = 90^\circ$, значит, $\triangle CDB$ — прямоугольный. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Площадь $S_{CDB} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot BD$ Мы знаем $BD = 7$, но не знаем $CD$. Так как $CD$ — катет в прямоугольном треугольнике $CDB$, а $CB$ — гипотенуза, то мы должны использовать $CB$ и $BD$ для нахождения $CD$. По теореме Пифагора в $\triangle CDB$: $CD^2 + BD^2 = CB^2$ $CD^2 + 7^2 = (\sqrt{74})^2$ $CD^2 + 49 = 74$ $CD^2 = 74 - 49$ $CD^2 = 25$ $CD = 5$ 4. Теперь можем найти площадь $\triangle CDB$: $S_{CDB} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 = \frac{35}{2} = 17,5$ **Ответ:** $17,5$

Найдите площадь треугольника CDB, если прямая AB перпендикулярна плоскости α, AC = 13, AD = 12, BD = 7, ∠CDB = 90°.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения