Через вершину C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найди площадь треугольника ABD, если CA = 3 дм, CB = 2 дм, CD = 1 дм.

Найдём площадь треугольника ABD. Так как $CD$ перпендикулярна плоскости треугольника ABC, то $CD$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе $CA$ и $CB$. 1. Найдём $AD$. Треугольник $ACD$ прямоугольный (угол $ACD = 90^\circ$). $$AD = \sqrt{CA^2 + CD^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \text{ дм}$$ 2. Найдём $BD$. Треугольник $BCD$ прямоугольный (угол $BCD = 90^\circ$). $$BD = \sqrt{CB^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \text{ дм}$$ 3. Найдём $AB$. Треугольник $ABC$ прямоугольный (угол $C = 90^\circ$). $$AB = \sqrt{CA^2 + CB^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \text{ дм}$$ 4. Теперь у нас есть стороны треугольника $ABD$: $AD = \sqrt{10}$ дм, $BD = \sqrt{5}$ дм, $AB = \sqrt{13}$ дм. Для нахождения площади можно использовать формулу Герона. Для начала найдём полупериметр $p$: $$p = \frac{AD + BD + AB}{2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{13}}{2}$$ Площадь $S_{ABD}$ по формуле Герона: $$S_{ABD} = \sqrt{p(p - AD)(p - BD)(p - AB)}$$ Подставим значения: $$S_{ABD} = \sqrt{\frac{\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{13}}{2} \left(\frac{\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{13}}{2} - \sqrt{10}\right) \left(\frac{\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{13}}{2} - \sqrt{5}\right) \left(\frac{\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{13}}{2} - \sqrt{13}\right)}$$ $$S_{ABD} = \sqrt{\frac{\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{13}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{13} - \sqrt{10}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10} + \sqrt{13} - \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10} + \sqrt{5} - \sqrt{13}}{2}}$$ $$S_{ABD} = \frac{1}{4} \sqrt{(\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{13})(\sqrt{5} + \sqrt{13} - \sqrt{10})(\sqrt{10} + \sqrt{13} - \sqrt{5})(\sqrt{10} + \sqrt{5} - \sqrt{13})}$$ Раскроем скобки, используя формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ несколько раз. Сначала $(\sqrt{13} + (\sqrt{10} + \sqrt{5}))(\sqrt{13} - (\sqrt{10} - \sqrt{5})) = \sqrt{13}^2 - (\sqrt{10} + \sqrt{5})^2 = 13 - (10 + 5 + 2\sqrt{50}) = 13 - 15 - 10\sqrt{2} = -2 - 10\sqrt{2}$. (тут ошибка в скобках, перепишу) Попробуем сгруппировать по-другому: $(\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{13})(\sqrt{10} + \sqrt{5} - \sqrt{13}) = (\sqrt{10} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{13})^2 = (10 + 5 + 2\sqrt{50}) - 13 = 15 + 10\sqrt{2} - 13 = 2 + 10\sqrt{2}$ $(\sqrt{13} + \sqrt{10} - \sqrt{5})(\sqrt{13} - \sqrt{10} + \sqrt{5})$ (тут опечатка, должно быть $(\sqrt{13} + (\sqrt{10} - \sqrt{5}))(\sqrt{13} - (\sqrt{10} - \sqrt{5})))$) Воспользуемся другой комбинацией: $(\sqrt{5} + \sqrt{13} - \sqrt{10})(\sqrt{10} + \sqrt{13} - \sqrt{5}) = (\sqrt{13} + (\sqrt{5} - \sqrt{10}))(\sqrt{13} - (\sqrt{5} - \sqrt{10})) = (\sqrt{13})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{10})^2 = 13 - (5 + 10 - 2\sqrt{50}) = 13 - (15 - 10\sqrt{2}) = 13 - 15 + 10\sqrt{2} = -2 + 10\sqrt{2}$ Тогда произведение под корнем будет: $(2 + 10\sqrt{2})(-2 + 10\sqrt{2}) = (10\sqrt{2} + 2)(10\sqrt{2} - 2) = (10\sqrt{2})^2 - 2^2 = 100 \cdot 2 - 4 = 200 - 4 = 196$ $$S_{ABD} = \frac{1}{4} \sqrt{196} = \frac{1}{4} \cdot 14 = \frac{14}{4} = 3.5 \text{ дм}^2$$ **Ответ:** $3.5 \text{ дм}^2$