Через вершину C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если CA=3 дм, CB=2 дм, CD=1 дм.

**Ответ: $3,5\text{ дм}^2$** **Решение:** 1. Найдём гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{CA^2 + CB^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\text{ дм}$$ 2. Найдём высоту $CH$ треугольника $ABC$, проведённую к гипотенузе $AB$. Площадь $\triangle ABC$ можно выразить двумя способами: $$S = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$$ $$3 \cdot 2 = \sqrt{13} \cdot CH \Rightarrow CH = \frac{6}{\sqrt{13}}\text{ дм}$$ 3. Так как $CD \perp (ABC)$, то по теореме о трёх перпендикулярах отрезок $DH \perp AB$ (где $DH$ — наклонная, $CH$ — её проекция на плоскость треугольника). Значит, $DH$ — высота треугольника $ABD$. 4. Из прямоугольного треугольника $DCH$ (где $\angle DCH = 90^\circ$) найдём $DH$ по теореме Пифагора: $$DH = \sqrt{CD^2 + CH^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{36}{13}} = \sqrt{\frac{13 + 36}{13}} = \sqrt{\frac{49}{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}}\text{ дм}$$ 5. Вычислим площадь треугольника $ABD$: $$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{7}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2} = 3,5\text{ дм}^2$$