Через вершину C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если CA=3 дм, CB=2 дм, CD=1 дм.

**Ответ: 3,5 дм²** **Решение:** 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($ ∠C = 90^{\circ}$). Его площадь: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ (дм²). 2. Найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ (дм). 3. Найдём высоту $CH$ треугольника $ABC$, проведённую к гипотенузе: $CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$ (дм). 4. Так как $CD \perp (ABC)$, то по теореме о трёх перпендикулярах отрезок $DH$ будет высотой треугольника $ABD$ (так как $CH ∥ AB$). 5. Из прямоугольного треугольника $DCH$ ($ ∠DCH = 90^{\circ}$) найдём $DH$ по теореме Пифагора: $DH = \sqrt{CD^2 + CH^2} = \sqrt{1^2 + (\frac{6}{\sqrt{13}})^2} = \sqrt{1 + \frac{36}{13}} = \sqrt{\frac{13 + 36}{13}} = \sqrt{\frac{49}{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}}$ (дм). 6. Найдём площадь треугольника $ABD$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{7}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2} = 3,5$ (дм²).